《中考数学必考的十五种类型大题夺分技巧再训练》专题06 二次函数综合题（原卷版）

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专题 06 二次函数综合题

1．如图，二次函数 y＝ax2+bx+x的图象过 O（0，0）、A（1，0）、B（

，

√

）三点．

（1）求二次函数的解析式；

（2）若线段 OB 的垂直平分线与 y轴交于点 C，与二次函数的图象在 x轴上方的部分相交于点 D，求直线

CD 的解析式；

（3）在直线 CD 下方的二次函数的图象上有一动点 P，过点 P作PQ⊥x轴，交直线 CD 于Q，当线段 PQ 的

长最大时，求点 P的坐标．

2．如图，抛物线 y＝x2+bx+c经过点（3，12）和（﹣2，﹣3），与两坐标轴的交点分别为 A，B，C，它的

对称轴为直线 l．

（1）求该抛物线的表达式；

（2）P是该抛物线上的点，过点 P作l的垂线，垂足为 D，E是l上的点．要使以 P、D、E为顶点的三角形

与△AOC 全等，求满足条件的点 P，点 E的坐标．

3．如图，在平面直角坐标系中，抛物线 y＝ax2+bx 2﹣交x轴于 A，B两点，交 y轴于点 C，且 OA＝2OC＝

8OB．点 P是第三象限内抛物线上的一动点．

（1）求此抛物线的表达式；

（2）若 PC∥AB，求点 P的坐标；

（3）连接 AC，求△PAC 面积的最大值及此时点 P的坐标．

4．综合与探究

在平面直角坐标系中，抛物线 y

¿1

x2+bx+c经过点 A（﹣4，0），点 M为抛物线的顶点，点 B在y轴上，且

OA＝OB，直线 AB 与抛物线在第一象限交于点 C（2，6），如图①．

（1）求抛物线的解析式；

（2）直线 AB 的函数解析式为　　，点 M的坐标为　　，cos∠ABO＝　　；

连接 OC，若过点 O的直线交线段 AC 于点 P，将△AOC 的面积分成 1：2的两部分，则点 P的坐标为　　；

（3）在 y轴上找一点 Q，使得△AMQ 的周长最小．具体作法如图②，作点 A关于 y轴的对称点 A'，连接

MA'交y轴于点 Q，连接 AM、AQ，此时△AMQ 的周长最小．请求出点 Q的坐标；

（4）在坐标平面内是否存在点 N，使以点 A、O、C、N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写

出点 N的坐标；若不存在，请说明理由．

5．如图，抛物线 y＝ax2+bx+4 交x轴于 A（﹣3，0），B（4，0）两点，与 y轴交于点 C，AC，BC．M为线

段OB 上的一个动点，过点 M作PM⊥x轴，交抛物线于点 P，交 BC 于点 Q．

（1）求抛物线的表达式；

（2）过点 P作PN⊥BC，垂足为点 N．设 M点的坐标为 M（m，0），请用含 m的代数式表示线段 PN 的长，

并求出当 m为何值时 PN 有最大值，最大值是多少？

（3）试探究点 M在运动过程中，是否存在这样的点 Q，使得以 A，C，Q为顶点的三角形是等腰三角形．

若存在，请求出此时点 Q的坐标；若不存在，请说明理由．

6．如图，二次函数 y＝x2+bx 的图象与 x轴正半轴交于点 A，平行于 x轴的直线 l与该抛物线交于 B、C两点

（点 B位于点 C左侧），与抛物线对称轴交于点 D（2，﹣3）．

（1）求 b的值；

（2）设 P、Q是x轴上的点（点 P位于点 Q左侧），四边形 PBCQ 为平行四边形．过点 P、Q分别作 x轴的

垂线，与抛物线交于点 P'（x1，y1）、Q'（x2，y2）．若|y1﹣y2|＝2，求 x1、x2的值．

7．已知点 A（1，0）是抛物线 y＝ax2+bx+m（a，b，m为常数，a≠0，m＜0）与 x轴的一个交点．

（Ⅰ）当 a＝1，m＝﹣3时，求该抛物线的顶点坐标；

（Ⅱ）若抛物线与 x轴的另一个交点为 M（m，0），与 y轴的交点为 C，过点 C作直线 1平行于 x轴，E是

直线 1上的动点，F是y轴上的动点，EF＝2

√

．

①当点 E落在抛物线上（不与点 C重合），且 AE＝EF 时，求点 F的坐标；

②取EF 的中点 N，当 m为何值时，MN 的最小值是

√

？

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