《中考数学必考的十五种类型大题夺分技巧再训练》专题06 二次函数综合题（解析版）

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专题 06 二次函数综合题
1．如图，二次函数 y＝ax2+bx+x的图象过 O（0，0）、A（1，0）、B（
3
2
，
√
3
2
）三点．
（1）求二次函数的解析式；
（2）若线段 OB 的垂直平分线与 y轴交于点 C，与二次函数的图象在 x轴上方的部分相交于点 D，求直线
CD 的解析式；
（3）在直线 CD 下方的二次函数的图象上有一动点 P，过点 P作PQ⊥x轴，交直线 CD 于Q，当线段 PQ 的
长最大时，求点 P的坐标．
【答案】见解析。
【分析】（1）将点 O、A、B的坐标代入抛物线表达式，即可求解；
（2）由点 B的坐标知，直线 BO 的倾斜角为 30°，则 OB 中垂线（CD）与 x负半轴的夹角为 60°，故设 CD 的
表达式为：y
¿−
√
3
x+b，而 OB 中点的坐标为（
3
4
，
√
3
4
），将该点坐标代入 CD 表达式，即可求解；
（3）过点 P作y轴额平行线交 CD 于点 H，PH
¿−
√
3
x
+
√
3−
（
x2
−2
√
3
3
x）
¿−2
√
3
3
x2
−
√
3
3
x
+
√
3
，即
可求解．
【解析】（1）将点 O、A、B的坐标代入抛物线表达式得
{
c=0
a+b+c=0
√
3
2=9
4a+3
2b+c
，解得
{
a=−2
√
3
3
b=−2
√
3
3
c=0
，
故抛物线的表达式为：y
¿2
√
3
3
x2
−2
√
3
3
x；
（2）由点 B的坐标知，直线 BO 的倾斜角为 30°，则 OB 中垂线（CD）与 x负半轴的夹角为 60°，
故设 CD 的表达式为：y
¿−
√
3
x+b，而 OB 中点的坐标为（
3
4
，
√
3
4
），
1
将该点坐标代入 CD 表达式并解得：b
¿
√
3
，
故直线 CD 的表达式为：y
¿−
√
3
x
+
√
3
；
（3）设点 P（x，
2
√
3
3
x2
−2
√
3
3
x），则点 Q（x，
−
√
3
x
+
√
3
），
则PQ
¿−
√
3
x
+
√
3−
（
2
√
3
3
x2
−2
√
3
3
x）
¿−2
√
3
3
x2
−
√
3
3
x
+
√
3
，
∵
−2
√
3
3＜
0，故 PQ 有最大值，此时点 P的坐标为（
−1
4
，
27
√
3
16
）．
2．如图，抛物线 y＝x2+bx+c经过点（3，12）和（﹣2，﹣3），与两坐标轴的交点分别为 A，B，C，它的
对称轴为直线 l．
（1）求该抛物线的表达式；
（2）P是该抛物线上的点，过点 P作l的垂线，垂足为 D，E是l上的点．要使以 P、D、E为顶点的三角形
与△AOC 全等，求满足条件的点 P，点 E的坐标．
【答案】见解析。
【分析】（1）将点（3，12）和（﹣2，﹣3）代入抛物线表达式，即可求解；
（2）由题意得：PD＝DE＝3时，以 P、D、E为顶点的三角形与△AOC 全等，分点 P在抛物线对称轴右侧、
点P在抛物线对称轴的左侧两种情况，分别求解即可．
【解析】（1）将点（3，12）和（﹣2，﹣3）代入抛物线表达式得
{
12=9+3b+c
−3=4−2b+c
，解得
{
b=2
c=−3
，
2
故抛物线的表达式为：y＝x2+2x3﹣；
（2）抛物线的对称轴为 x＝﹣1，令 y＝0，则 x＝﹣3或1，令 x＝0，则 y＝﹣3，
故点 A、B的坐标分别为（﹣3，0）、（1，0）；点 C（0，﹣3），
故OA＝OC＝3，
∵∠PDE＝∠AOC＝90°，
∴当PD＝DE＝3时，以 P、D、E为顶点的三角形与△AOC 全等，
设点 P（m，n），当点 P在抛物线对称轴右侧时，m﹣（﹣1）＝3，解得：m＝2，
故n＝22+2×2 5﹣＝5，故点 P（2，5），
故点 E（﹣1，2）或（﹣1，8）；
当点 P在抛物线对称轴的左侧时，由抛物线的对称性可得，点 P（﹣4，5），此时点 E坐标同上，
综上，点 P的坐标为（2，5）或（﹣4，5）；点 E的坐标为（﹣1，2）或（﹣1，8）．
3．如图，在平面直角坐标系中，抛物线 y＝ax2+bx 2﹣交x轴于 A，B两点，交 y轴于点 C，且 OA＝2OC＝
8OB．点 P是第三象限内抛物线上的一动点．
（1）求此抛物线的表达式；
（2）若 PC∥AB，求点 P的坐标；
（3）连接 AC，求△PAC 面积的最大值及此时点 P的坐标．
【答案】见解析。
【分析】（1）抛物线 y＝ax2+bx 2﹣，则 c＝﹣2，故 OC＝2，而 OA＝2OC＝8OB，则 OA＝﹣4，OB
¿1
2
，确
定点 A、B、C的坐标；即可求解；
（2）抛物线的对称轴为 x
¿−7
4
，当 PC∥AB 时，点 P、C的纵坐标相同，即可求解；
（3）△PAC 的面积 S＝S△PHA+S△PHC
¿1
2
PH×OA，即可求解．
【解析】（1）抛物线 y＝ax2+bx 2﹣，则 c＝﹣2，故 OC＝2，
3
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