《中考数学二轮复习经典问题专题训练》专题37 （双）X型相似问题（解析版）
专题 37 （双）X 型相似问题
【规律总结】
已知：∠ABD=∠ACD
结论：相似三角形：
相似三角形：
【典例分析】
例1．（2020·渠县第二中学九年级期末）如图，正方形 的对角线 、 相交于
点 ， 是 的中点， 交 于点 ，若 ，则 等于
A．3 B．4 C．6 D．8
P
A
B
D
C
1
【答案】D
【分析】
因为四边形 ABCD 是正方形，E是BC 中点，所以 CE= AD，由相似三角形的判定定理得出
△CEF ADF∽△ ，再根据相似三角形的对应边成比例可得出．
【详解】
解：∵四边形 ABCD 是正方形，E是BC 中点，
CE=∴AD，
AD BC∵ ∥ ，
ADF= DEC∴∠ ∠ ，∠AFD= EFC∠，
CEF ADF∴△ ∽△ ，
∴
∴
解得 DF=8，
故选：D．
【点睛】
本题考查的是相似三角形的判定与性质及正方形的性质，先根据题意判断出
△CEF ADF∽△ ，再根据相似三角形的对应边成比例进行解答是解答此题的关键．
例2．（2020·山东九年级二模）如图，正方形 ABCD 的对角线相交于点 O，点 M，N分别是
边BC，CD 上的动点（不与点 B，C，D重合），AM，AN 分别交 BD 于E，F两点，且
2
∠MAN=45°，则下列结论：① MN=BM+DN；②△AEF BEM∽△ ；③ =；④△FMC
是等腰三角形．其中正确的是______．（填写正确序号）
【答案】①②③④
【分析】
将△ABM 绕点 A逆时针旋转 90°至△ADM′，根据正方形的性质和且∠MAN=45°可证明
MN=BM+DN；根据 BD 是正方形 ABCD 的对角线，推出∠EBM= MAN=45°∠，于是得到
△AEF BEM∽△ ；根据相似三角形的判定定理得到△AEB FEM∽△ ，根据相似三角形的性质得
到∠EMF= ABE=45°∠，推出△AFM 是等腰直角三角形，于是得到 ；根据全等三
角形的性质得到 AF=CF，等量代换得到△FMC 是等腰三角形．
【详解】
将△ABM 绕点 A逆时针旋转 90°至△ADM′，
3
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2025-05-30 87
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