《中考数学二轮复习之重难热点提分专题》八 抛物线问题（解析版）

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专题八 抛物线问题
1．（2020 黑龙江）如图，已知二次函数 y＝﹣x2+（a+1）x﹣a与x轴交于 A、B两点（点 A位于点 B的左
侧），与 y轴交于点 C，已知△BAC 的面积是 6．
（1）求 a的值；
（2）在抛物线上是否存在一点 P，使 S△ABP＝S△ABC．若存在请求出 P坐标，若不存在请说明理由．
【分析】（1）由 y＝﹣x2+（a+1）x﹣a，令 y＝0，即﹣x2+（a+1）x﹣a＝0，可求出 A、B坐标结合三角
形的面积，解出 a＝﹣3；
（2）根据题意 P的纵坐标为±3，分别代入解析式即可求得横坐标，从而求得 P的坐标．
【解析】（1）∵y＝﹣x2+（a+1）x﹣a，
令x＝0，则 y＝﹣a，
∴C（0，﹣a），
令y＝0，即﹣x2+（a+1）x﹣a＝0
解得 x1＝a，x2＝1
由图象知：a＜0
∴A（a，0），B（1，0）
∵S△ABC＝6
1
∴
1
2
（1﹣a）（﹣a）＝6
解得：a＝﹣3，（a＝4舍去）；
（2）∵a＝﹣3，
∴C（0，3），
∵S△ABP＝S△ABC．
∴P点的纵坐标为±3，
把y＝3代入 y＝﹣x22﹣x+3 得﹣x22﹣x+3＝3，解得 x＝0或x＝﹣2，
把y＝﹣3代入 y＝﹣x22﹣x+3 得﹣x22﹣x+3＝﹣3，解得 x＝﹣1
+
√
7
或x＝﹣1
−
√
7
，
∴P点的坐标为（﹣2，3）或（﹣1
+
√
7
，﹣3）或（﹣1
−
√
7
，﹣3）．
2．（2020 安徽）在平面直角坐标系中，已知点 A（1，2），B（2，3），C（2，1），直线 y＝x+m经过点
A，抛物线 y＝ax2+bx+1 恰好经过 A，B，C三点中的两点．
（1）判断点 B是否在直线 y＝x+m上，并说明理由；
（2）求 a，b的值；
（3）平移抛物线 y＝ax2+bx+1，使其顶点仍在直线 y＝x+m上，求平移后所得抛物线与 y轴交点纵坐标
的最大值．
【分析】（1）根据待定系数法求得直线的解析式，然后即可判断点 B（2，3）在直线 y＝x+m上；
（2）因为直线经过 A、B和点（0，1），所以经过点（0，1）的抛物线不同时经过 A、B点，即可判断
抛物线只能经过 A、C两点，根据待定系数法即可求得 a、b；
（3）设平移后的抛物线为 y＝﹣x+px+q，其顶点坐标为（
p
2
，
p2
4+¿
q），根据题意得出
q
¿p
2+¿
1，由抛物线 y＝﹣x+px+q与y轴交点的纵坐标为 q，即可得出 q
¿p2
4−p
2−
1
¿−1
4
（p1﹣）2
+5
4
，从而得
出q的最大值．
2
【解析】（1）点 B是在直线 y＝x+m上，理由如下：
∵直线 y＝x+m经过点 A（1，2），
2∴＝1+m，解得 m＝1，
∴直线为 y＝x+1，
把x＝2代入 y＝x+1 得y＝3，
∴点B（2，3）在直线 y＝x+m上；
（2）∵直线 y＝x+1 与抛物线 y＝ax2+bx+1 都经过点（0，1），且 B、C两点的横坐标相同，
∴抛物线只能经过 A、C两点，
把A（1，2），C（2，1）代入 y＝ax2+bx+1 得
{
a+b+1=2
4a+2b+1=1
，
解得 a＝﹣1，b＝2；
（3）由（2）知，抛物线为 y＝﹣x2+2x+1，
设平移后的抛物线为 y＝﹣x+px+q，其顶点坐标为（
p
2
，
p2
4+¿
q），
∵顶点仍在直线 y＝x+1 上，
∴
p2
4+¿
q
¿p
2+¿
1，
∴q
¿p2
4−p
2−
1，
∵抛物线 y＝﹣x+px+q与y轴的交点的纵坐标为 q，
∴q
¿p2
4−p
2−
1
¿−1
4
（p1﹣）2
+5
4
，
∴当p＝1时，平移后所得抛物线与 y轴交点纵坐标的最大值为
5
4
．
3
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