《中考数学一轮复习》专题21锐角三角函数及解直角三角形（知识点总结+例题讲解）

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2021 年中考数学 专题 21 锐角三角函数及解直角三角形
（知识点总结+例题讲解）
一、勾股定理和勾股定理逆定理：
1.勾股定理：如果直角三角形的两直角边长分别为 a，b，斜边长为 c，那么 a2＋
b2=c2。
2.勾股定理逆定理：
如果三角形三边长 a，b，c 满足 a2＋b2=c2；那么这个三角形是直角三角形。
【 例 题 1 】 （ 2020• 包 头 ） 如 图 ， 在 Rt△ABC 中 ， ∠ ACB ＝ 90° ， D 是 AB 的 中 点 ，
BE⊥CD，交 CD 的延长线于点 E．若 AC＝2，BC＝2
√
2
，则 BE 的长为（　　）
A．
2
√
6
3
B．
√
6
2
C．
√
3
D．
√
2
【答案】A
【解析】方法 1：根据勾股定理可求 AB，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一
半，求出 BD，CD 的长，设 DE＝x，根据勾股定理得到关于 x 的方程，解方程可求 x，进
一步求出 BE 的长．
方法 2：由 AC，BC 易求三角形 ABC 的面积，由 D 是 AB 中点，从而得到△BCD 的面积是
△ABC 面积的一半，从而得到 BE．
解：方法 1：在 Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，AC＝2，BC＝2
√
2
，
由勾股定理得 AB
¿
√
A C2+BC2=
√
22+¿ ¿
2
√
3
，
∵D 是 AB 的中点，
1
∴BD＝CD
，
设 DE＝x，
由勾股定理得（
√
3
）2﹣x2＝（2
√
2
）2﹣（
√
3+¿
x）2，解得 x
¿
√
3
3
，
∴在 Rt△BED 中，BE
¿
√
B D2− D E2=
√
¿ ¿
．
方法 2：三角形 ABC 的面积
¿1
2
×
AC×BC
¿1
2
×
2×2
√
2=¿
2
√
2
，
∵D 是 AB 中点，∴△BCD 的面积＝△ABC 面积
×1
2
=
√
2
，
Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，AC＝2，BC＝2
√
2
，
由勾股定理得 AB
¿
√
A C2+BC2=
√
22+¿ ¿
2
√
3
，
∵D 是 AB 的中点，∴CD
¿
√
3
，∴BE
¿
√
2×
2÷2×2
÷
√
3=2
√
6
3
．故选：A。
【变式练习 1】（2020 秋•青羊区校级期末）下列给出的四组数中，能构成直角三角形
三边的一组是（　　）
A．3，4，5 B．5，12，14 C．6，8，9 D．8，13，15
【答案】A
【解析】根据勾股定理的逆定理：如果三角形有两边的平方和等于第三边的平方，那
么这个三角形是直角三角形判定则可．
解：A、42+32＝52，能构成直角三角形，故此选项符合题意；
B、52+122≠142，不能构成直角三角形，故此选项不符合题意；
C、62+82≠92，不能构成直角三角形，故此选项不符合题意；
D、82+122≠152，不能构成直角三角形，故此选项不符合题意；故选：A．
2
二、直角三角形的判定及性质：
1.直角三角形的判定：
（1）有一个角等于 90°的三角形是直角三角形；
（2）两锐角互余的三角形是直角三角形；
（3）两条边的平方和等于另一边的平方的三角形是直角三角形；
（4）有一边上的中线等于这边的一半的三角形是直角三角形。
2.直角三角形的性质：
（1）直角三角形的两锐角互余；
（2）直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方；
（3）直角三角形中 30°角所对直角边等于斜边的一半；
（4）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。
【例题 2】（2019 秋•开州区期末）如图，在△ ABC 中，∠ACB＝90°，沿 CD 折叠
△CBD，使点 B 恰好落在边 AC 上点 E 处，若∠A＝25°，则∠ADE 的大小为（　　）
A．40° B．50°
C．65° D．75°
【答案】A
【解析】根据三角形内角和定理可得∠B＝65°，再由折叠可得∠CED 的度数，再根据
三角形外角的性质可得∠ADE 的度数．
解：∵在△ABC 中，∠ACB＝90°，∠A＝25°，∴∠B＝180°﹣90°﹣25°＝65°，
根据折叠可得∠CED＝65°，∴∠ADE＝65°﹣25°＝40°，故选：A。
【变式练习 2】（2019 秋•定州市期末）如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，
3
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