第07讲 分式方程及其应用（原卷版）-备战2021年中考数学考点精讲精练（全国通用）

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第07 讲 分式方程及其应用
【考点 1 分式方程的概念及解分式方程】
1．分母中含有未知数的方程叫做分式方程．
2．解法步骤：
(1)去分母：将方程两边都乘以最简公分母，把它化为整式方程；
(2)解这个整式方程；
3．检验方法：
(1)利用方程的解的概念进行检验；
(2)将解得的整式方程的根代入最简公分母，看计算结果是否为 0，不为 0 就是原方程的根；若为 0，则为
增根，必须舍去；
(3)增根：当分母的值为 0 时，分式方程无解，这样的根叫做分式方程的增根．
【考点 2 分式方程的应用】
列分式方程解应用题的六个步骤：
(1)审：弄清题目中涉及的已知量和未知量以及量与量之间的等量关系；
(2)设：设未知数，根据等量关系用含未知数的代数式表示其他未知量；
(3)列：根据等量关系，列出方程；
(4)解：求出所列方程的解；
(5)验：双检验．①检验是否是分式方程的解；②检验解是否符合题意；
(6)答：写出答案．
分式方程的概念及解分式方程
找最简公分母的方法：
(1)取各分式的分母中各项系数的最小公倍数；
(2)各分式的分母中所有字母或因式都要取到；
(3)利用字母(或因式)的幂取指数最大的；
(4)所得的系数的最小公倍数与各个字母(或因式)的最高次幂的积即为最简公分母．
知识点 1：分式方程的解
【例 1】（2020•云南）若整数
a
使关于
x
的不等式组 ，有且只有 45 个整数解，且使关于
y
的方程 + ＝1 的解为非正数，则
a
的值为（　　）
A．﹣61 或﹣58 B．﹣61 或﹣59
C．﹣60 或﹣59 D．﹣61 或﹣60 或﹣59
【解答】解：解不等式组，得
＜
x
≤25，
∵不等式组有且只有 45 个整数解，
∴﹣20≤ ＜﹣19，
解得﹣61≤
a
＜﹣58，
因为关于
y
的方程 + ＝5 的解为：
y
＝﹣
a
﹣61，
y
≤0，
∴﹣
a
﹣61≤0，
解得
a
≥﹣61，
∵
y
+6≠0，∴
y
≠﹣1，
∴
a
≠﹣60
则
a
的值为：﹣61 或﹣59．
故选：
B
．
【变式 1-1】（2020•鸡西）若关于
x
的分式方程 ＝ 有正整数解，则整数
m
的值是（　　）
A．3 B．5 C．3 或 5 D．3 或 4
【变式 1-2】（2020•荆门）已知关于
x
的分式方程 ＝ +2 的解满足﹣4＜
x
＜﹣1，且
k
为
整数，则符合条件的所有
k
值的乘积为（　　）
A．正数 B．负数 C．零 D．无法确定
【变式 1-3】（2019•齐齐哈尔）关于
x
的分式方程 ﹣ ＝3 的解为非负数，则
a
的取值范围为
2
．
【变式 1-4】（2020•内江）若数
a
使关于
x
的分式方程 + ＝3 的解为非负数，且使关于
y
的不等式
组 的解集为
y
≤0，则符合条件的所有整数
a
的积为　 40 　 ．
【变式 1-5】（2019•宿迁）关于
x
的分式方程 + ＝1 的解为正数，则
a
的取值范围是　
．
知识点 2：解分式方程
【例 2】（2020•广元）按照如图所示的流程，若输出的
M
＝﹣6，则输入的
m
为（　　）
A．3 B．1 C．0 D．﹣1
【解答】解：当
m
2﹣2
m
≥4 时， ，解得
m
＝0，
经检验，
m
＝0 是原方程的解 8﹣2
m
≥0，
当
m
7﹣2
m
＜0 时，
m
﹣6＝﹣6，解得
m
＝﹣32﹣2
m
＜0，舍去．
故输入的
m
为 7．
故选：
C
．
【变式 2-1】（2020•济南）代数式 与代数式 的值相等，则
x
＝　．
【变式 2-2】（2020•日照）（1）计算： +（ ）﹣1﹣ ×cos30°；
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