第08讲 一元二次方程及其应用（解析版）-备战2021年中考数学考点精讲精练（全国通用）

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第08 讲 一元二次方程及其应用
【考点 1 一元二次方程的概念及解法】
1.一元二次方程的概念:只含有 1 个未知数，未知数的最高次数是 2，像这样的整式方程叫一元二次方程．
其一般形式是 ax2＋bx＋c＝0(a≠0)．
2.一元二次方程的解法:
直接开平方法：这种方法适合于左边是一个完全平方式，而右边是一个非负数的一元二次方程，即形如(x
＋m)2＝n(n≥0)的方程.
配方法：配方法一般适用于解二次项系数为 1，一次项系数为偶数的这类一元二次方程，配方的关键是把
方程左边化为含有未知数的完全平方式，右边是一个非负常数．
公式法：求根公式为 x＝(b2－4ac≥0)，适用于所有的一元二次方程.
因式分解法：因式分解法的步骤：(1)将方程右边化为 0；(2)将方程左边分解为一次因式的乘积；(3)令每
个因式等于 0，得到两个一元一次方程，解这两个一元一次方程，它们的解就是一元二次方程的解.
【考点 2 一元二次方程根的情况】
1．根的判别式：一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根的情况可由 b2－4ac 来判定，我们 b2－4a 将称为
根的判别式．
2．判别式与根的关系：
(1)b2－4ac>0⇔方程有两个不相等的实数根；
(2)b2－4ac<0⇔方程没有实数根；
(3)b2－4ac＝0⇔方程有两个相等的实数根．
【考点 3 一元二次方程的应用】
1．列一元二次方程解应用题的步骤：
(1)审题；(2)设未知数；(3)列方程；(4)解方程；(5)检验；(6)做结论．
2．一元二次方程应用问题常见的等量关系：
(1)增长率中的等量关系：增长率＝增量÷基础量；
(2)利率中的等量关系：本息和＝本金＋利息，利息＝本金×利率×时间；
(3)利润中的等量关系：毛利润＝售出价－进货价，纯利润＝售出价－进货价－其他费用，
利润率＝利润÷进货价．
一元二次方程的概念及解法
1.判断一个方程是一元二次方程的条件：①是整式方程；②二次项系数不为零；③未知数的最高
次数是 2，且只含有一个未知数．
2.关于 x的一元二次方程 ax²＋bx＋c＝0(a≠0)的解法：
(1)当b＝0，c≠0 时，x2＝－，考虑用直接开平方法解；
(2)当c＝0，b≠0 时，用因式分解法解；
(3)当a＝1，b为偶数时，用配方法解简便．
（1）将一元二次方程配成（x+m）2＝n的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的
方法叫配方法．
（2）用配方法解一元二次方程的步骤：
①把原方程化为 ax2+bx+c＝0（a≠0）的形式；
②方程两边同除以二次项系数，使二次项系数为 1，并把常数项移到方程右边；
③方程两边同时加上一次项系数一半的平方；
④把左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数；
⑤如果右边是非负数，就可以进一步通过直接开平方法来求出它的解，如果右边是一个负数，则判定
此方程无实数解．
知识点 1：一元二次方程的一般形式
【例 1】（2021•武汉模拟）方程 3
x
2﹣2
x
﹣1＝0 的二次项系数和一次项系数分别为（　　）
A．3 和 2 B．3 和﹣2 C．3 和﹣1 D．3 和 1
【解答】解：方程 3
x
2﹣5
x
﹣1＝0 的二次项系数和一次项系数分别为 3 和﹣2，
故选：
B
．
【变式 1-1】（2021•硚口区模拟）方程 3
x
2＝5
x
+7 的二次项系数、一次项系数、常数项分别为（　　）
A．3，5，7 B．3，﹣5，﹣7 C．3，﹣5，7 D．3，5，﹣7
【解答】解：方程 3
x
2＝2
x
+7 转化为一般形式为 3
x
6﹣5
x
﹣7＝6，其中二次项系数、常数项分别为 3，﹣
7，
故选：
B
．
【变式 1-2】（2020•广西模拟）将方程
x
2﹣2
x
+1＝4﹣3
x
化为一般形式为　
x
2
+
x
﹣3 ＝ 0 　 ．
【解答】解：方程整理得：
x
2+
x
﹣3＝3，
故答案为：
x
2+
x
﹣3＝2
2
知识点 2：一元二次方程的解
【例 2】（2020•江岸区校级模拟）二次函数
y
＝
x
2+
bx
的对称轴为
x
＝1．若关于
x
的一元二次方程
x
2+
bx
﹣
t
＝0（
t
为实数）在﹣3＜
x
＜3 的范围内有解，则
t
的取值范围是（　　）
A．﹣1≤
t
＜15 B．3≤
t
＜15 C．﹣1≤
t
＜8 D．3＜
t
＜15
【解答】解：∵对称轴为
x
＝1，
∴
x
＝﹣ ＝3，
∴
b
＝﹣2，
∴二次函数的解析式为：
y
＝
x
2﹣8
x
，
∴其顶点坐标为（1，﹣1）．
当
x
＝﹣2 时，
y
＝9+6＝15，
x
＝7 时，
y
＝9﹣6＝8．
∵
x
2+
bx
﹣
t
＝0 的解为
y
＝
x
7+
bx
与直线
y
＝
t
在﹣3＜
x
＜3 的内的交点横坐标，
∴当﹣7≤
t
＜15 时，一元二次方程
x
2+
bx
﹣
t
＝0（
t
为实数）在﹣3＜
x
＜3 的范围内有解．
故选：
A
．
【变式 2-1】（2020•牡丹区二模）
x
＝0 是关于
x
的方程（
k
﹣1）
x
2+6
x
+
k
2﹣
k
＝0 的根，则
k
的值是　 1
或
0
．
【解答】解：把
x
＝0 代入，得
k
2﹣
k
＝5．
整理，得
k
（
k
﹣1）＝0．
解得
k
＝6 或
k
＝1．
综上所述，
k
的值是 1 或 7．
故答案是：1 或 0．
【变式 2-2】（2020•青白江区模拟）已知 2+ 是方程
x
2﹣4
x
+
c
＝0 的一个根，求方程的另一个根及
c
的值．
【解答】解：把 2+ 代入方程
x
4﹣4
x
+
c
＝0，得（4+ ）2﹣7（2+ ）+
c
＝2，
解得
c
＝1；
所以原方程是
x
2﹣5
x
+1＝0，
解得方程的解是
x
＝7± ；
∴另一解是 2﹣ ．
【变式 2-3】（2021•武汉模拟）已知 3 是一元二次方程
x
2﹣2
x
+
a
＝0 的一个根，求
a
的值和方程的另一根．
【解答】解：将
x
＝3 代入
x
2﹣8
x
+
a
＝0 中得 36﹣6+
a
＝0，
解得
a
＝﹣3，
3
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