专题04函数小题与三角函数（解析版）-5年（2016-2020）中考数学分类汇编（江西专用）

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专题 04 函数小题与三角函数
一、单选题
1．（2020·江西）在平面直角坐标系中，点 为坐标原点，抛物线 与 轴交于点 ，与 轴正半
轴交于点 ，连接 ，将 向右上方平移，得到 ，且点 ， 落在抛物线的对称轴上，点
落在抛物线上，则直线 的表达式为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】
【分析】
先求出 A、B两点的坐标和对称轴，先确定三角形向右平移了 1个单位长度，求得 B′的坐标，再确定三角形向上平
移5个单位，求得点 A′的坐标，用待定系数法即可求解．
【详解】
解：当 y=0 时， ，解得 x1=-1，x2=3，
当x=0 时，y=-3，
∴A（0，-3），B（3，0），
对称轴为直线 ，
经过平移， 落在抛物线的对称轴上，点 落在抛物线上，
∴三角形 向右平移 1个单位，即 B′的横坐标为 3+1=4，
当x=4 时，y=42-2×4-3=5，
∴B′（4，5），三角形 向上平移 5个单位，
此时 A′（0+1，-3+5），∴A′（1，2），
设直线 的表达式为 y=kx+b，
代入 A′（1，2），B′（4，5），
可得
解得： ，
故直线 的表达式为 ，
故选：B．
【点睛】
本题考查二次函数的图象和与坐标轴的交点坐标、图形的平移和待定系数法求一次函数表达式等知识点，解题的
关键是熟练掌握二次函数的图形和性质．
2．（2019·江西）已知正比例函数
y1
的图象与反比例函数
y2
图象相交于点
A(2,4)
，下列说法正确的是（ ）
A．反比例函数
y2
的解析式是
y2=−8
x
B．两个函数图象的另一交点坐标为
(2, −4)
C．当
x<−2
或
0<x<2
时，
D．正比例函数
y1
与反比例函数
y2
都随
x
的增大而增大
【答案】C
【解析】
【分析】
由题意可求正比例函数解析式和反比例函数解析式，由正比例函数和反比例函数的性质可判断求解．
【详解】
解：
∵
正比例函数
y1
的图象与反比例函数
y2
的图象相交于点
A(2,4)
，
∴
正比例函数
y1=2x
，反比例函数
y2=8
x
∴
两个函数图象的另一个角点为
(−2, − 4)
∴A
，
B
选项错误
∵
正比例函数
y1=2x
中，
y
随
x
的增大而增大，反比例函数
y2=8
x
中，在每个象限内
y
随
x
的增大而减小，
∴D
选项错误
∵
当
x<−2
或
0<x<2
时，
∴
选项
C
正确
故选：C．
【点睛】
本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，熟练运用反比例函数与一次函数的性质解决问题是本题的关键．
3．（2018·江西）在平面直角坐标系中，分别过点 ,作 轴的垂线 和 ,探究直线 和 与双
曲线 的关系，下列结论中错误的是
A．两直线中总有一条与双曲线相交
2
B．当 =1 时，两条直线与双曲线的交点到原点的距离相等
C．当 时，两条直线与双曲线的交点在 轴两侧
D．当两直线与双曲线都有交点时，这两交点的最短距离是 2
【答案】D
【解析】
【分析】根据题意给定 m特定值、非特定值分别进行讨论即可得.
【详解】当 =0 时， 与双曲线有交点，当 =-2 时， 与双曲线有交点，
当 时， 和双曲线都有交点，所以 正确，不符合题意；
当 时，两交点分别是(1，3)，(3，1)，到原点的距离都是 ，所以 正确，不符合题意；
当 时， 在 轴的左侧， 在 轴的右侧，所以 正确，不符合题意；
两交点分别是 )，两交点的距离是 ，当 无限大时，两交点的
距离趋近于 2，所以 不正确，符合题意，
故选 D.
【点睛】本题考查了垂直于 x轴的直线与反比例函数图象之间的关系，利用特定值，分情况进行讨论是
解本题的关键，本题有一定的难度.
二、解答题
4．（2019·江西）图 1是一台实物投影仪，图 2是它的示意图，折线 表示固定支架， 垂直水平桌面
于点 ，点 为旋转点， 可转动，当 绕点 顺时针旋转时，投影探头 始终垂直于水平桌面 ，
经测量： ， ， ， ．（结果精确到 0.1）
（1）如图 2， ， ．
① 填空： _________°；
② 求投影探头的端点 到桌面 的距离．
（2）如图 3，将（1）中的 向下旋转，当投影探头的端点 到桌面 的距离为 时，求 的大小．
3
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