专题62 圆的综合（1）（原卷版）-2021年中考二轮专题复习之数学思想和方法以及常见题型满分练（全国通用）

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专题 62 圆的综合（1）
【典例分析】
例 1、如图，AB 为
⊙O
的直径，BC、CD 是
⊙O
的切线，切点
分别为点 B、D，点 E为线段 OB 上的一个动点，连接
OD，CE，DE，已知
AB=2❑
√
5
，
BC=2
，当
CE +DE
的值最小时，
则
CE
DE
的值为
()
A.
9
10
B.
C.
√
5
3
D.
2❑
√
5
5
【答案】A
【解析】【试题解析】
解：延长 CB 到F使得
BC=CF
，则 C与F关于 OB 对称，连接 DF 与OB 相交于点 E，此
时
CE+DE=DF
值最小，
连接 OC，BD，两线相交于点 G，过 D作
DH ⊥OB
于H，
则
OC ⊥BD
，
OC=
√
O B2+B C2=
√
5+4=3
，
∵CB ⊥OB
，
∠COB=∠BOG
ΔCOB ∽ΔBOG
∴OB
OC =BG
BC
∴OB ⋅BC=OC ⋅BG
，
∴BG=2
3
√
5
，
∴BD=2BG=4
3
√
5
，
∵O D2−O H 2=D H2=B D2− B H 2
，
∴5−¿
，
∴BH =8
9
√
5
，
∴DH =
√
B D2− B H2=20
9
，
∵DH /¿BF
，
∴EF
ED =BF
DH =2
20
9
=9
10
，
∴CE
DE =9
10
，
故选：A．
延长 CB 到F使得
BC=CF
，则 C与F关于 OB 对称，连接 DF 与OB 相交于点 E，此时
CE+DE=DF
值最小，连接 OC，BD，两线相交于点 G，过 D作
DH ⊥OB
于H，先求得
BG，再求 BH，进而 DH，运用相似三角形得
EF
DE =BF
DH
，便可得解．
本题是圆的综合题，主要考查了切线长定理，切线的性质，相似三角形的性质与判定，勾
股定理，将军饮马问题，问题较复杂，作的辅助线较多，正确作辅助线是解决问题的关键．
例 2、如图，在平面直角坐标系中，已知
C(3,4)
，以点 C为圆心的圆与 y轴相切．点
A、B在x轴上，且
OA=OB .
点P为
⊙C
上的动点，
∠APB=90°
，则 AB 长度的最大值
为______．
2
【答案】16
【解析】
【分析】
本题考查了切线的性质，坐标和图形的性质，圆周角定理，找到 OP 的最大值是解题的关
键．
连接 OC 并延长，交
⊙C
上一点 P，以 O为圆心，以 OP 为半径作
⊙O
，交 x轴于 A、B，
此时 AB 的长度最大，根据勾股定理和题意求得
OP=8
，则 AB 的最大长度为 16．
【解答】
解：连接 OC 并延长，交
⊙C
上一点 P，以 O为圆心，以 OP 为半径作
⊙O
，交 x轴于
A、B，此时 AB 的长度最大，
∵C(3,4)
，
∴OC =
√
32+42=5
，
∵
以点 C为圆心的圆与 y轴相切．
∴⊙ C
的半径为 3，
∴OP=OA=OB=8
，
∵∠ APB=90 °
，
∴AB
是直径，
∴AB
长度的最大值为 16，
故答案为 16．
3
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