专题15圆的切线有关证明问题-备战2021年中考数学经典题型讲练案（解析版）【全国通用】

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备战

2021

年中考数学经典题型讲练案（全国通用）

专题 15 圆的切线有关证明问题

【方法指导】

1. 判断直线和圆的位置关系：设⊙O的半径为 r，圆心 O到直线 l的距离为 d．

①直线l和⊙O相交⇔d＜r②直线l和⊙O相切⇔d=r

③直线l和⊙O相离⇔d＞r．

2. 切线的性质：①圆的切线垂直于经过切点的半径．②经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点．

③ 经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心．

如果一条直线符合下列三个条件中的任意两个，那么它一定满足第三个条件，这三个条件是：①直线过圆

心；②直线过切点；③直线与圆的切线垂直．

3.切线的判定：

（1）切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．

（2）在应用判定定理时注意：

① 切线必须满足两个条件：a、经过半径的外端；b、垂直于这条半径，否则就不是圆的切线．

② 切线的判定定理实际上是从”圆心到直线的距离等于半径时，直线和圆相切“这个结论直接得出来的．

③ 在判定一条直线为圆的切线时，当已知条件中未明确指出直线和圆是否有公共点时，常过圆心作该直线

的垂线段，证明该线段的长等于半径，可简单的说成“无交点，作垂线段，证半径”；当已知条件中明确

指出直线与圆有公共点时，常连接过该公共点的半径，证明该半径垂直于这条直线，可简单地说成“有交

点，作半径，证垂直”．

4.切线长定理：

（1）圆的切线长定义：经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长．

（2）切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线，平分两条切

线的夹角．切线和切线长是两个不同的概念，切线是直线，不能度量；切线长是线段的长，这条线段的两

个端点分别是圆外一点和切点，可以度量．

（3）切线长定理包含着一些隐含结论：①垂直关系三处；②全等关系三对；③弧相等关系两对，在一些

证明求解问题中经常用到．

5.三角形的内切圆和内心

（1）内切圆的有关概念：

与三角形各边都相切的圆叫三角形的内切圆，三角形的内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做

圆的外切三角形．三角形的内心就是三角形三个内角角平分线的交点．

（2）任何一个三角形有且仅有一个内切圆，而任一个圆都有无数个外切三角形．

（3）三角形内心的性质：三角形的内心到三角形三边的距离相等；三角形的内心与三角形顶点的连线平

分这个内角．

【题型剖析】

【类型 1】直线和圆的位置关系

【例 1】（2020•广州）如图，Rt△ABC 中，∠C＝90°，AB＝5，cosA

¿4

，以点 B为圆心，r为半径作⊙B，

当r＝3时，⊙B与AC 的位置关系是（　　）

A．相离 B．相切 C．相交 D．无法确定

【分析】根据三角函数的定义得到 AC，根据勾股定理求得 BC，和⊙B的半径比较即可．

【解析】∵Rt△ABC 中，∠C＝90°，AB＝5，cosA

¿4

，

∴

AB =AC

5=4

，

∴AC＝4，

∴BC

√

A B2− A C2=¿

3，

∵r＝3，

∴BC＝r＝3，

∴⊙B与AC 的位置关系是相切，

故选：B．

【变式 1-1】（2021•武汉模拟）圆的直径为 10cm，如果圆心与直线的距离是 d，那么（　　）

A．当 d＝8cm 时，直线与圆相交

B．当 d＝4.5cm 时，直线与圆相离

C．当 d＝5cm 时，直线与圆相切

D．当 d＝10cm 时，直线与圆相切

【分析】求圆与直线的交点个数，即确定直线与圆的位置关系，关键是把 d与半径 5cm 进行比较．若 d

＜r，则直线与圆相交；若 d＝r，则直线于圆相切；若 d＞r，则直线与圆相离．（d为圆心距，r为圆的

半径）．

【解析】已知圆的直径为 10cm，则半径为 5cm，

当d＝5cm 时，直线与圆相切，d＜5cm 直线与圆相交，d＞5cm 直线与圆相离，

故A、B、D错误，C正确，

故选：C．

【变式 1-2】（2020•泰州）如图，直线 a⊥b，垂足为 H，点 P在直线 b上，PH＝4cm，O为直线 b上一动

点，若以 1cm 为半径的⊙O与直线 a相切，则 OP 的长为　 3 cm

或

5 cm 　．

【分析】当点 O在点 H的左侧⊙O与直线 a相切时，OP＝PH﹣OH；当点 O在点 H的右侧⊙O与直线 a

相切时，OP＝PH+OH，即可得出结果．

【解析】∵直线 a⊥b，O为直线 b上一动点，

∴⊙O与直线 a相切时，切点为 H，

∴OH＝1cm，

当点 O在点 H的左侧，⊙O与直线 a相切时，如图 1所示：

OP＝PH﹣OH＝4 1﹣＝3（cm）；

当点 O在点 H的右侧，⊙O与直线 a相切时，如图 2所示：

OP＝PH+OH＝4+1＝5（cm）；

∴⊙O与直线 a相切，OP 的长为 3cm 或5cm，

故答案为：3cm 或5cm．

【变式 1-3】（2020•上海）在矩形 ABCD 中，AB＝6，BC＝8，点 O在对角线 AC 上，圆 O的半径为 2，如

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