专题14中等大题满分夯基综合训练（四）-2021年中考数学大题狂练之中等大题满分夯基练（解析版）【江苏专用】

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2020 年中考数学大题狂练之中等大题满分夯基练（江苏专用）
专题 14 中等大题满分夯基综合训练（四）
【题型说明】
本专题题型包括：实数的计算、整式的运算、分式的化简、因式分解的应用、解方程、在数轴上表示
不等式的解集、概率的计算、统计有关问题、三角形的有关计算与证明、四边形的有关计算与证明、圆的
有关计算、切线的有关证明、反比例函数与一次函数综合问题、二次函数的性质、一次函数的实际应用、
最优设计最大值问题、方程与不等式的应用、锐角三角函数的应用等.
【专项突破】
一．解答题（共 25 小题）
1．（2021•徐州模拟）计算：
（1）（﹣1）2020
−¿
；
（2）
x2−1
x+1÷x2−2x+1
x2− x
．
【分析】（1）利用乘方、负整式指数幂的法则及立方根的性质分别求解，再进行加减运算即可；
（2）将除法变乘法，再对分子、分母进行因式分解，最后约分即可．
【解析】（1）原式＝1 3+2﹣＝0；
（2）原式
¿x2−1
x+1×x2− x
x2−2x+1
¿(x+1)(x −1)
x+1×x(x −1)
¿¿
＝x．
2．（2021•泰州模拟）（1）计算：
2
√
3
cos30°
−¿
（﹣1）﹣1；
（2）解不等式组
{
3(x+2)≥2x+5，
2x − 3x+1
2＜1
，并写出不等式组的正整数解．
【分析】（1）原式第一项利用特殊角的三角函数值化简，第二项利用零指数幂法则计算，最后一项利
用负指数幂法则计算即可得到结果．
【解析】（1）原式＝2
1 1﹣
＝3 1 1﹣ ﹣
＝1；
1
（2）
{
3(x+2)≥2x+5①
2x − 3x+1
2＜1②
，
解不等式①得：x≥ 1﹣，
解不等式②得：x＜3，
∴原不等式组的解集为：﹣1≤x＜3，
∴正整数解为 1，2．
3．（2021•锡山区一模）（1）解方程：x26﹣x+7＝0；
（2）解不等式组
{
2x − 6＞0
4− x ＜−1
．
【分析】（1）利用配方法求解即可；
（2）分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无
解了确定不等式组的解集．
【解析】（1）∵x26﹣x+7＝0，
∴x26﹣x＝﹣7，
则x26﹣x+9＝﹣7+9，即（x3﹣）2＝2，
∴x3﹣
¿±
√
2
，
∴x1＝3
+
√
2
，x2＝3
−
√
2
；
（2）解不等式 2x6﹣＞0，得：x＞3，
解不等式 4﹣x＜﹣1，得：x＞5，
∴不等式组的解集为 x＞5．
4．（2021•昆山市模拟）关于 x的一元二次方程 x2﹣（2m+1）x+m＝0．
（1）求证：方程总有两个不相等的实数根；
（2）若 x1，x2是该方程的两根，且满足两根的平方和等于 3，求 m的值．
【分析】（1）计算判别式的值得到△＝4m2+1，利用非负数的性质得△＞0，然后根据判别式的意义可
判断方程总有两个不相等的实数根；
（2）根据根与系数的关系得 x1+x2＝2m+1，x1x2＝m，利用 x12+x22＝3得到（2m+1）22×﹣m＝3，然后解
方程即可．
【解答】（1）证明：△＝（2m+1）24﹣m＝4m2+1，
4∵m2≥0，
2
∴△＞0，
∴方程总有两个不相等的实数根；
（2）解：∵x1，x2是该方程的两根，则 x1+x2＝2m+1，x1x2＝m，
∵x12+x22＝3，
∴（x1+x2）22﹣x1x2＝3，
∴（2m+1）22×﹣m＝3，
解得 m
¿1
2
或﹣1．
5．（2021•泰州模拟）（1）我们知道，盐水加盐后浓度会增加．请你用数学的方法证明这个结论；
（2）化学实验室一容器内的 40 克食盐水中含盐 4克．在实验室无食盐的情况下，如何处理，可使该容
器内的食盐水浓度提高到原来的 2倍？
【分析】（1）设盐水中含盐 a克，含水 b克，再加盐 c克，则原浓度为
a
a+b
，加盐后的浓度为
a+c
a+b+c
，
二者做差后即可证出结论；
（2）用蒸发的方法，设蒸发 x克水，根据要使该容器内的食盐水浓度提高到原来的 2倍，即可得出关
于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论．
【解答】（1）证明：设盐水中含盐 a克，含水 b克，再加盐 c克，
则原浓度为
a
a+b
，加盐后的浓度为
a+c
a+b+c
，
∴
a+c
a+b+c−a
a+b=(a+c)(a+b)− a(a+b+c)
(a+b+c)(a+b)=bc
(a+b+c)(a+b)＞
0，
故加盐后浓度变大．
（2）解：用蒸发的方法，设蒸发 x克水，
依意题得：
4
40 − x =2×4
40
，
解得：x＝20，
经检验，x＝20 是原方程的解，且符合题意．
答：蒸发掉 20 克的水即可达到要求．
6．（2021•建湖县一模）某商场销售 A、B两种文具，部分销售记录如表所示：
A商品 B商品 销售金额
60 件20 件2100 元
40 件30 件1900 元
3
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