专题14圆与相似三角函数综合问题-2021新版中考数学压轴题之学霸秘笈大揭秘（解析版）

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2021
新版中考数学压轴题之学霸秘笈大揭秘
专题 14 圆与相似三角函数综合问题
【例 1】（2020•绵阳）如图，△ABC 内接于⊙O，点 D在⊙O外，∠ADC＝90°，BD 交⊙O于点 E，交
AC 于点 F，∠EAC＝∠DCE，∠CEB＝∠DCA，CD＝6，AD＝8．
（1）求证：AB∥CD；
（2）求证：CD 是⊙O的切线；
（3）求 tan∠ACB 的值．
【分析】（1）由圆周角定理与已知得∠BAC＝∠DCA，即可得出结论；
（2）连接 EO 并延长交⊙O于G，连接 CG，则 EG 为⊙O的直径，∠ECG＝90°，证明∠DCE＝∠EGC
＝∠OCG，得出∠DCE+∠OCE＝90°，即可得出结论；
（3）连接 OA，由三角函数定义求出 cos∠ACD
¿3
5
，证出∠ABC＝∠ACD＝∠CAB，求出 BC＝AC＝
10，AB＝12，过点 B作BG⊥AC 于G，设 GC＝x，则 AG＝10﹣x，由勾股定理得出方程，解方程得 GC
¿14
5
，由勾股定理求出 BG
¿48
5
，由三角函数定义即可得答案．
【解析】（1）证明：∵∠BAC＝∠CEB，∠CEB＝∠DCA，
∴∠BAC＝∠DCA，
∴AB∥CD；
（2）证明：连接 EO 并延长交⊙O于G，连接 CG、OC，如图 1所示：
则EG 为⊙O的直径，
∴∠ECG＝90°，
∵OC＝OG，
∴∠OCG＝∠EGC，
∵∠EAC＝∠EGC，∠EAC＝∠DCE，
2
∴∠DCE＝∠EGC＝∠OCG，
∵∠OCG+∠OCE＝∠ECG＝90°，
∴∠DCE+∠OCE＝90°，即∠DCO＝90°，
∵OC 是⊙O的半径，
∴CD 是⊙O的切线；
（3）解：连接 OA，如图 2所示：
∵OA＝OC，
∴∠OAC＝∠OCA，
∵∠AOC+∠OAC+∠OCA＝180°，2∠ABC＝∠AOC，
∴∠ABC+∠OCA＝90°，
由（2）得：∠OCA+ACD＝90°，
∴∠ABC＝∠ACD，
在Rt△ADC 中，由勾股定理得：AC
¿
√
A D2+C D2=
√
82+62=¿
10，
cos∴ ∠ACD
¿CD
AC =6
10 =3
5
，
∵AB∥CD，
∴∠ABC＝∠ACD＝∠CAB，
∴BC＝AC＝10，AB＝2BC•cos∠ABC＝2×10
12，
过点 B作BG⊥AC 于G，如图 2所示：
设GC＝x，则 AG＝10﹣x，
由勾股定理得：AB2﹣AG2＝BG2＝BC2﹣GC2，
即：122﹣（10﹣x）2＝102﹣x2，
解得：x
¿14
5
，
3
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