专题13圆与函数相似三角函数综合问题 - 决胜2021中考数学压轴题全揭秘精品（解析版）（江苏专版）

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决胜 2021 中考数学压轴题全揭秘精品（江苏专版）
专题 13 圆与函数相似三角函数综合问题
【考点 1】圆与三角函数综合问题
【例 1】（2020•镇江）如图，▱ABCD 中，∠ABC 的平分线 BO 交边 AD 于点 O，OD＝4，以点 O为圆心，
OD 长为半径作⊙O，分别交边 DA、DC 于点 M、N．点 E在边 BC 上，OE 交⊙O于点 G，G为
^
MN
的中
点．
（1）求证：四边形 ABEO 为菱形；
（2）已知 cos∠ABC
¿1
3
，连接 AE，当 AE 与⊙O相切时，求 AB 的长．
1
【分析】（1）先由 G为
^
MN
的中点及同弧所对的圆周角和圆心角的关系得出∠MOG＝∠MDN，再由
平行四边形的性质得出 AO∥BE，∠MDN+∠A＝180°，进而判定四边形 ABEO 是平行四边形，然后证
明AB＝AO，则可得结论；
（2）过点 O作OP⊥BA，交 BA 的延长线于点 P，过点 O作OQ⊥BC 于点 Q，设 AB＝AO＝OE＝x，则
由cos∠ABC
¿1
3
，可用含 x的式子分别表示出 PA、OP 及OQ，由勾股定理得关于 x的方程，解得 x的
值即可．
【解析】（1）证明：∵G为
^
MN
的中点，
∴∠MOG＝∠MDN．
∵四边形 ABCD 是平行四边形．
∴AO∥BE，∠MDN+∠A＝180°，
∴∠MOG+∠A＝180°，
∴AB∥OE，
∴四边形 ABEO 是平行四边形．
∵BO 平分∠ABE，
∴∠ABO＝∠OBE，
又∵∠OBE＝∠AOB，
∴∠ABO＝∠AOB，
∴AB＝AO，
∴四边形 ABEO 为菱形；
（2）如图，过点 O作OP⊥BA，交 BA 的延长线于点 P，过点 O作OQ⊥BC 于点 Q，设 AE 交OB 于点
F，
2
则∠PAO＝∠ABC，
设AB＝AO＝OE＝x，则
cos∵ ∠ABC
¿1
3
，
cos∴ ∠PAO
¿1
3
，
∴
，
∴PA
¿1
3
x，
∴OP＝OQ
¿2
√
2
3
x
当AE 与⊙O相切时，由菱形的对角线互相垂直，可知 F为切点，
∴在Rt△OBQ 中，由勾股定理得：
¿
82，
解得：x＝2
√
6
（舍负）．
∴AB 的长为 2
√
6
．
【变式 1-1】（2019•南通）如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，BC＝1，以边 AC 上一点 O为
圆心，OA 为半径的⊙O经过点 B．
（1）求⊙O的半径；
（2）点 P为劣弧 AB 中点，作 PQ⊥AC，垂足为 Q，求 OQ 的长；
（3）在（2）的条件下，连接 PC，求 tan∠PCA 的值．
【分析】（1）作 OH⊥AB 于H．解直角三角形求出 AB，利用垂径定理求出 AH 即可解决问题．
（2）如图 2中，连接 OP，PA．设 OP 交AB 于H．证明△AOP 是等边三角形即可解决问题．
（3）连接 PC．求出 CQ，PQ 即可．
【解析】（1）作 OH⊥AB 于H．
3
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