专题13 胡不归-备战2021年中考数学二轮复习题型专练（浙江专用）（解析版）

3.0 envi 2025-02-10 34 4 210.59KB 14 页 3知币
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题型十三 胡不归
【要点提炼】
一、【模型故事】
从前，有一个小伙子在外地学徒，当他获悉在家的老父亲病危的消息后，便立即启程赶路.由
于思乡心切，他只考虑了“两点之间线段最短”的原理，所以选择了全是沙砾地带的直线路径
A→B（如图），而忽视了走折线路径 A→D→B 虽路程多但速度快的实际情况， 当他气喘吁吁地赶
到家时，老人刚刚咽了气，小伙子失声痛哭.邻居劝慰小伙子时告诉他，老人弥留之际不断念叨
着"胡不归?胡不归?
在该故事中，我们的几何图形不再是简单的线和点，而是赋予了实际的意义，AB 所经过的砂砾之
路肯定会比 AD 所在的大路要速度慢一些，因此考虑最短时间时要去考虑一下速度的问题
二、【模型破解术】
①模型特点：胡不归在中考中常以求
PA+k ∙ PB
最小值的形式而出现
② 例题：如图，已知 D 为射线 AB 上依动点，∠BAC=30°，AC=
2
√
3
，AD= 时，CD+
1
2
AD 取
最小值为 。
要想求出 CD+
1
2
AD 的最小值，则需在图中先体现出
1
2
AD 和CD+
1
2
AD，然后再研究最值
而胡不归问题中构造
1
2
AD 的方法是利用三角函数，例如如果我们以 AD 为斜边构造一个 30°角
的直角三角形，那么依据 30°的正弦则可得出 30°角的对边就是 AD 的一半，下面我们来实操一
下
首先我们以 AD 为斜边，以 A为顶点，往 AD 的下面做一个 30°角
然后我们过 D作辅助线的垂线 DE
由30°的正弦可得，DE=
1
2
AD，则该题求的就是 CD+DE 的最小值
最终最小值为过 C作辅助线的垂线段 CF 的长度
CF=AC
sin CAF=∠
2
√
3×
√
3
2
=3
【专题训练】
一．选择题（共 1小题）
1．如图，△ABC 在直角坐标系中，AB＝AC，A（0，2
√
2
），C（1，0），D为射线 AO 上一点，
一动点 P从A出发，运动路径为 A→D→C，点 P在AD 上的运动速度是在 CD 上的 3倍，要使整
个运动时间最少，则点 D的坐标应为（　　）
A．（0，
√
2
）B．（0，
√
2
2
）C．（0，
√
2
3
）D．（0，
√
2
4
）
E
F
2
【答案】D
【解析】解：假设 P在AD 的速度为 3，在 CD 的速度为 1，
设D坐标为（0，y），则 AD＝2
√
2−
y，CD
¿
√
y2+12=
√
y2+1
，
∴设t
¿2
√
2− y
3+
√
y2+1
，
等式变形为：t
+1
3
y
−2
√
2
3=
√
y2+1
，则 t的最小值时考虑 y的取值即可，
∴t2+（
2
3
y
−4
√
2
3
）t+（
1
3
y
−2
√
2
3
）2＝y2+1，
∴
8
9
y2+（
4
√
2
9−2
3
t）y﹣t2
+4
√
2
3
t+1＝0，
△＝（
4
√
2
9−2
3
t）24﹣
×8
9
（﹣t2
+4
√
2
3
t+1）≥0，
∴t的最小值为
√
3
，
∴y
¿
√
2
4
，
∴点D的坐标为（0，
√
2
4
），
故选 D．
解法二：假设 P在AD 的速度为 3V，在 CD 的速度为 1V，
总时间 t
¿AD
3V+CD
V=1
V
（
AD
3+¿
CD），要使 t最小，就要
AD
3+¿
CD 最小，
因为 AB＝AC＝3，过点 B作BH⊥AC 交AC 于点 H，交 OA 于D，易证△ADH∽△ACO，所以
AC
OC =AD
DH =¿
3，所以
AD
3=¿
DH，因为△ABC 是等腰三角形，所以 BD＝CD，所以要
AD
3+¿
CD 最小，就是要 DH+BD 最小，就要 B、D、H三点共线就行了．因为△AOC∽△BOD，所以
AO
OB =OC
OD
，即
2
√
2
1=1
OD
，所以 OD
¿
√
2
4
，
所以点 D的坐标应为（0，
√
2
4
）．
二．填空题（共 2小题）
2．如图，抛物线 y＝x22﹣x3﹣与x轴交于 A、B两点，过 B的直线交抛物线于 E，且 tan∠EBA
¿4
3
3
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