2021年新高二暑假经典讲义——第3讲 空间向量求距离和夹角一（学生版）

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第3讲 空间向量求距离和夹角
[玩前必备]
1．两条异面直线所成角的求法
设
a
，
b
分别是两异面直线
l
1，
l
2的方向向量，则
l
1与
l
2所成的角
θa
与
b
的夹角
β
范围 (0，] [0，π]
求法 cos
θ
＝ cos
β
＝
2.直线与平面所成角的求法
设直线
l
的方向向量为
a
，平面
α
的法向量为
n
，直线
l
与平面
α
所成的角为
θ
，
a
与
n
的夹角为
β
，则
sin
θ
＝|cos
β
|＝.
3．求二面角的大小
(1) 如 图 ① ，
AB
，
CD
是二面角
α
－
l
－
β
的两个面内与棱
l
垂直的直线，则二面角的大小
θ
＝
〈AB，CD〉．
(2)如图②③，
n
1，
n
2分别是二面角
α
－
l
－
β
的两个半平面
α
，
β
的法向量，则二面角的大小
θ
满足|
cos
θ
|＝|cos〈
n
1，
n
2〉|，二面角的平面角大小是向量
n
1与
n
2的夹角(或其补角)．
4.求点到平面的距离的步骤可简化为：
①求平面的法向量；
②求斜线段对应的向量在法向量上的投影的绝对值，即为点到平面的距离．
空间中其他距离问题一般都可转化为点到平面的距离求解
【玩转典例】
考点一 空间向量求线线角
【例 1】（2020·全国高三一模）如图，四棱锥 中，底面 是矩形， ，
， ， ， 是等腰三角形，点 是棱 的中点，则异面直线 与
所成角的余弦值是（ ）
1
A．B．C．D．
【玩转跟踪】
1．（2020·河南高二）已知在正方体 中，P为线段 上的动点，则直线 与直线
所成角余弦值的范围是（ ）
A．B．C．D．
2.三棱柱 ABC－A1B1C1中，△ABC 为等边三角形，AA1⊥平面 ABC，AA1＝AB，N，M分别是 A1B1，A1C1的中点，
则AM 与BN 所成角的余弦值为(　　)
A. B. C. D.
3．已知四棱锥 SABCD 的底面是正方形且侧棱长与底面边长都相等，E是SB 的中点，则 AE，SD 所成的角的
余弦值为(　　)
A．　 B．　　　C．　　　D．
向量法求异面直线所成角的一般步骤
(1)选择三条两两垂直的直线建立空间直角坐标系；
(2)确定异面直线上两个点的坐标，从而确定异面直线的方向向量；
(3)利用向量的夹角公式求出向量夹角的余弦值；
(4)两异面直线所成角的余弦值等于两向量夹角余弦值的绝对值
2
考点二 空间向量求线面角
【例 2】（2020·全国高二）如图所示， 是四棱锥 的高，四边形 为正方形，点 是线
段 的中点， .
（1）求证： ；
（2）若点 是线段 上靠近 的四等分点，求直线 与平面 所成角的正弦值.
【玩转跟踪】
1．（2020·浙江高三开学考试）如图，四棱锥 中， ， ， ，
， ， ．
若直线
l
与平面
α
的夹角为
θ
，直线
l
的方向向量
l
与平面
α
的法向量
n
的夹角为
β
，则
θ
＝－
β
或
θ
＝
β
－，故有 sin
θ
＝|cos
β
|＝.
3
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