方法技巧专题21 排列组合与二项式定理（解析版）

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方法技巧专题 21 排列组合与二项式定理

解析篇

一、排列组合与二项式定理知

识框架

与排列相关的常见问题

【一】特殊元素、特殊位置的排列问题

1.例题

【例 1】有名学生排成一排，求分别满足下列条件的排法种数，要求列式并给出计算结果.

（1）甲不在两端；

（2）甲、乙相邻；

（3）甲、乙、丙三人两两不得相邻；

（4）甲不在排头，乙不在排尾。

【答案】（1）30240（2）10080（3）14400（4）30960

【解析】（1）假设 8个人对应 8个空位，甲不站两端，有 6个位置可选，则其他 7个人对应 7个位置，故

有：种情况

特殊元素、特殊位置的排列问题解法：

（1）以元素为主体：即先满足特殊元素的要求，再考虑其他元素；

（2）以位置为主体：即先满足特殊位置的要求，再考虑其他位置.

（2）把甲乙两人捆绑在一起看作一个复合元素，再和另外 6人全排列，故有种情况；

（3）把甲乙丙 3人插入到另外 5人排列后所形成的 6个空中的三个空，故有种情况；

（4）利用间接法，用总的情况数减去甲在排头、乙在排尾的情况数，再加上甲在排头同时乙在排尾的情

况，故有种情况

【例 2】毕业季有位好友欲合影留念，现排成一排，如果：

（1）、两人不排在一起，有几种排法？

（2）、两人必须排在一起，有几种排法？

（3）不在排头，不在排尾，有几种排法？

【答案】（1）；（2）；（3）.

【解析】（1）将、插入到其余人所形成的个空中，因此，排法种数为；

（2）将、两人捆绑在一起看作一个复合元素和其他人去安排，

因此，排法种数为；

（3）分以下两种情况讨论：

①若在排尾，则剩下的人全排列，故有种排法；

②若不在排尾，则有个位置可选，有个位置可选，将剩下的人全排列，安排在其它个位

置即可，此时，共有种排法.

综上所述，共有种不同的排法种数.

2.巩固提升综合练习

【练习 1】用 0，1，2，3，4这五个数字组成无重复数字的自然数．

（Ⅰ）在组成的三位数中，求所有偶数的个数；

（Ⅱ）在组成的三位数中，如果十位上的数字比百位上的数字和个位上的数字都小，则称这个数为“凹

数”，如 301，423 等都是“凹数”，试求“凹数”的个数；

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