专题3.3 三角函数的图像和性质（解析版）

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第三篇三角函数与解三角形

专题 3.3 三角函数的图像和性质

【考纲要求】

1. 能画出 y＝sin x，y＝cos x，y＝tan x 的图象，了解三角函数的周期性．

2．理解正弦函数、余弦函数在区间[0,2π]上的性质(如单调性、最大值和最小值以及与 x轴的交点等)，理解

正切函数在区间内的单调性．

3．了解函数 y＝Asin(ωx＋φ)的物理意义；能画出 y＝Asin(ωx＋φ)的图象，了解参数 A，ω，φ对函数图象

变化的影响．

4．体会三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型，会用三角函数解决一些简单的实际问题.

【命题趋势】

1.三角函数的图象，主要考查三角函数的图象变换、三角函数解析式的求法及三角函数图象的应用．

2．三角函数的性质是高考的必考内容，常与三角函数的图象结合，主要考查三角函数的周期性、单调性、

最值、奇偶性、对称性．

3．高考中常以选择、填空题的形式考查三角函数关系式、三角函数诱导公式、三角函数的奇偶性及对称性，

属于中低档题．

4．以解答题的形式考查三角函数的单调性、最值，常与平面向量、解三角形及三角恒等变换相结合.

【核心素养】

本讲内容主要考查数学运算和直观想象的核心素养。

【素养清单•基础知识】

1．用五点法作正弦函数和余弦函数的简图

(1)“五点法”作图原理：

在正弦函数 y＝sin x，x∈[0,2π]的图象上，五个关键点是：(0,0)，，(π，0)，，(2π，0)．

在余弦函数 y＝cos x，x∈[0,2π]的图象上，五个关键点是：(0,1)，，(π，－1)，，(2π，1).

函数 y＝sin x，x∈[0，2π]，y＝cos x，x∈[0，2π]的五个关键点的横坐标是零点和极值点最值点.

(2)五点法作图的三步骤：列表、描点、连线(注意光滑)．

2．正弦、余弦、正切函数的图象与性质

函数 y＝sin x y＝cos x y＝tan x

图象

定义域 R R

值域 [－1,1] [－1,1] R

奇偶性奇函数偶函数奇函数

单

调

性

在(k∈Z)上是递增函数，

在(k∈Z)上是递减函数

在[2kπ－π，2kπ]

(k∈Z)上是递增函

数，在[2kπ，2kπ＋π]

(k∈Z)上是递减函数

在(k∈Z)上是递增函数

周

期

性

周期是 2kπ(k∈Z且

k≠0)，最小正周期是 2π

周期是 2kπ(k∈Z且

k≠0)，最小正周期是

2π

周期是 kπ(k∈Z且k≠0)，最小正

周期是

对

称

性

对称轴是 x＝＋

kπ(k∈Z)，对称中心是

(kπ，0)(k∈Z)

对称轴是 x＝

kπ(k∈Z)，对称中心

是(k∈Z)

对称中心是

(k∈Z)

三角函数性质的注意点：

(1)正、余弦函数一个完整的单调区间的长度是半个周期；y＝tan x无单调递减区间；y＝tan x在整个定义域

内不单调．

(2)要注意求函数 y＝Asin(ωx＋φ)的单调区间时 A和ω的符号，尽量化成 ω>0 的形式，避免出现增减区间的

混淆.

3．函数 y＝Asin(ωx＋φ)的有关概念

y＝Asin(ωx＋φ)

(A>0，ω>0)

振幅周期频率相位初相

AT＝f＝＝ ωx＋φ

4．用五点法画 y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)一个周期内的简图

用五点法画 y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)一个周期内的简图时，要找五个关键点，如下表所示：

ωx＋φ0 π 2π

x－－－

y＝Asin(ωx＋

φ)

0 0 －A0

5．由函数 y＝sin x的图象通过变换得到 y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的图象的两种方法

(1)两种变换的区别

① 先相位变换再周期变换(伸缩变换)，平移的量是|φ|个单位长度；②先周期变换(伸缩变换)再相位变换，

平移的量是(ω>0)个单位长度．

(2)变换的注意点

无论哪种变换，每一个变换总是针对自变量 x而言的，即图象变换要看“自变量 x”发生多大变化，而不是

看角“ωx＋φ”的变化．

【素养清单•常用结论】

1．对称与周期的关系

正弦曲线、余弦曲线相邻的两个对称中心、相邻的两条对称轴之间的距离是半个周期，相邻的对称中心与对

称轴之间的距离是四分之一个周期；正切曲线相邻两个对称中心之间的距离是半个周期．

2．与三角函数的奇偶性相关的结论

(1)若y＝Asin(ωx＋φ)为偶函数，则有 φ＝kπ＋(k∈Z)；若为奇函数，则有 φ＝kπ (k∈Z)．

(2)若y＝Acos(ωx＋φ)为偶函数，则有 φ＝kπ(k∈Z)；若为奇函数，则有 φ＝kπ＋ (k∈Z)．

(3)若y＝Atan(ωx＋φ)为奇函数，则有 φ＝kπ(k∈Z)．

【真题体验】

1.【2019 年高考全国Ⅰ卷理数】函数 f(x)= 在的图像大致为（）

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