专题一 培优点3 导数中函数的构造问题（解析版）

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培优点 3　导数中函数的构造问题
【要点提炼】
导数问题中已知某个含 f′(x)的不等式，往往可以转化为函数的单调性，我们可以根
据不等式的形式构造适当的函数求解问题．
【典例】1　(1)f(x)是定义在 R上的偶函数，当 x<0 时，f(x)＋xf′(x)<0，且 f(－4)＝0，
则不等式 xf(x)>0 的解集为________________．
【答案】　(－∞，－4)∪(0,4)
【解析】　构造 F(x)＝xf(x)，则 F′(x)＝f(x)＋xf′(x)，当 x<0 时，f(x)＋xf′(x)<0，
可以推出当 x<0 时，F′(x)<0，F(x)在(－∞，0)上单调递减，∵f(x)为偶函数，∴F(x)＝
xf(x)为奇函数，∴F(x)在(0，＋∞)上也单调递减．根据 f(－4)＝0 可得 F(－4)＝0，根据
函数的单调性、奇偶性可得函数图象(图略)，根据图象可知 xf(x)>0 的解集为(－∞，－
4)∪(0,4)．
(2)已知偶函数 f(x)(x≠0)的导函数为 f′(x)，且满足 f(－1)＝0，当 x>0 时，2f(x)>xf′
(x)，则使得 f(x)>0 成立的 x 的取值范围是________________．
【答案】　(－1,0)∪(0,1)
【解析】　构造 F(x)＝，则 F′(x)＝，当 x>0 时，xf′(x)－2f(x)<0，可以推出当 x>0 时，
F′(x)<0，F(x)在(0，＋∞)上单调递减，∵f(x)为偶函数，∴F(x)＝为偶函数，
∴F(x)在(－∞，0)上单调递增．根据 f(－1)＝0 可得 F(－1)＝0，根据函数的单调性、奇
偶性可得函数图象(图略)，根据图象可知 f(x)>0 的解集为(－1,0)∪(0,1)．
【典例】2　(1)定义在 R上的函数 f(x)满足 f′(x)>f(x)恒成立，若 x1<x2，则 f(x2)与
f(x1)的大小关系为(　　)
A． f(x2)> f(x1)
B． f(x2)< f(x1)
C． f(x2)＝ f(x1)
D． f(x2)与 f(x1)的大小关系不确定
【答案】　A
1
【解析】　设 g(x)＝，
则 g′(x)＝＝.
由题意得 g′(x)>0，所以 g(x)在 R上单调递增，
当 x1<x2时，g(x1)<g(x2)，即 < ，
所以 f(x2)> f(x1)．
(2)已知定义在上的函数 f(x)，f′(x)是它的导函数，且恒有 f(x)<f′(x)tan x 成立，则(
)
A.f„>f„ B．f(1)<2f„sin 1
C.f„>f„ D.f„<f„
【答案】　D
【解析】　构造函数 g(x)＝，
则 g′(x)＝，
由已知可得，当 x∈时，g′(x)>0，g(x)为增函数，
∴g<g，即<，
∴f„<f„.
【方法总结】
(1)构造函数 xf(x)，：当条件中含“＋”时优先考虑 xf(x)；当条件中含“－”时优先考
虑.
(2)构造函数：条件中含“xf′(x)－nf(x)”的形式；
构造函数 xf(nx)：条件中含“nxf′(nx)＋f(nx)” 的形式．
(3)构造函数：条件中含“f′(x)－f(x)”的形式．
(4)构造函数：条件中含“f′(x)sin x－f(x)cos x”的形式．
1．(2020·广东韶关调研)已知 f(x)为 R上的可导函数，且∀x∈R，均有 f(x)>f′(x)，则以
下判断正确的是(　　)
2
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