专题23 指数函数的单调性与特殊点（解析版）

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指数函数的单调性与特殊点
一．选择题（共 17 小题）
1．（2019•德州一模）已知 a＝（
3
5
）
❑
2
5
，b＝（
2
5
）
❑
3
5
，c＝（
2
5
）
❑
2
5
，则（　　）
A．a＜b＜cB．c＜b＜aC．c＜a＜bD．b＜c＜a
【解析】解：∵y
¿¿
为减函数，
∴b＜c，
又∵y
¿x
2
5
在（0，+∞）为增函数，
∴a＞c，
∴b＜c＜a，
故选：D．
2．（2019•黄山一模）已知函数 f（x）＝|2x1|﹣，a＜b＜c，且 f（a）＞f（c）＞f（b），则下列结论中成立
的是（　　）
A．a＜0，b＜0，c＜0 B．a＜0，b≥0，c＞0
C．2﹣a＜2cD．2a+2c＜2
【解析】解：对于 A，若 a＜0，b＜0，c＜0，因为 a＜b＜c，所以 a＜b＜c＜0，
而函数 f（x）＝|2x1|﹣在区间（﹣∞，0）上是减函数，
故f（a）＞f（b）＞f（c），与题设矛盾，所以 A不正确；
对于 B，若 a＜0，b≥0，c＞0，可设 a＝﹣1，b＝2，c＝3，
此时 f（c）＝f（3）＝7为最大值，与题设矛盾，故 B不正确；
对于 C，取 a＝0，c＝3，同样 f（c）＝f（3）＝7为最大值，
与题设矛盾，故 C不正确；
对于 D，因为 a＜c，且 f（a）＞f（c），说明可能如下情况成立：
（i）a、c位于函数的减区间（﹣∞，0），此时 a＜b＜c＜0，可得 f（a）＞f（b）＞f（c）与题设矛盾；
（ii）a、c不在函数的减区间（﹣∞，0），则必有 a＜0＜c，所以 f（a）＝1 2﹣a＞2c1﹣＝f（c），
化简整理，得 2a+2c＜2成立．
综上所述，可得只有 D正确
故选：D．
1
3．（2019 秋•赫山区校级月考）已知函数 f（x）
，若 f（x）在（﹣∞，+
∞）上是增函数，则实数 a的取值范围是（　　）
A．{a|
3
2＜a ≤2
} B．{a|a≥2} C．{a|a
＞3
2
} D．{a|a＝2}
【解析】解：由题意 f （x）在（﹣∞，+∞）上是增函数，可得函数在（﹣∞，1）上是增函数，
且在（1，+∞）上也是增函数，且有 a1≤2﹣a3 3﹣ ﹣ a+6．
故有
{
a＞1
a −1≤(2a −3)−3a+6
2a− 3＞0
，解得
3
2＜
a≤2．
故选：A．
4．（2019 秋•辽源期末）设 y1＝40.9，y2＝80.48，y3＝（
1
2
）﹣1.5，则（　　）
A．y3＞y1＞y2B．y2＞y1＞y3C．y1＞y2＞y3D．y1＞y3＞y2
2
【解析】解：利用幂的运算性质可得，
y1＝40.9＝21.8，y2＝80.48＝21.44，y3＝（
1
2
）﹣1.5＝21.5，
再由 y＝2x是增函数，知 y1＞y3＞y2．
故选：D．
5．（2019 秋•连云港期末）若指数函数 f（x）＝（m1﹣）x是R上的单调减函数，则 m的取值范围是（
）
A．m＜2 B．m＞2 C．1＜m＜2 D．0＜m＜1
【解析】解：∵指数函数 f（x）＝（m1﹣）x是R上的单调减函数，∴0＜m1﹣＜1，
求得 1＜m＜2，
故选：C．
6．（2019•呼和浩特一模）已知
a=¿
，
b=2
2
5
，
c=9
1
3
，则（　　）
A．b＜a＜cB．a＜b＜cC．b＜c＜aD．c＜a＜b
【解析】解：
a=¿
，
b=2
2
5
，
c=9
1
3=3
2
3
，
由2＜3得：a＜c，
由
2
3＞2
5
，得：a＞b
故c＞a＞b，
故选：A．
7．（2003•北京）设
y1=40.9
，
y2=80.48
，
y3=¿
，则（　　）
A．y3＞y1＞y2B．y2＞y1＞y3C．y1＞y2＞y3D．y1＞y3＞y2
【解析】解：
y1=40.9 =22×0.9 =21.8
，
y2=80.48=23×0.48 =21.44
，
y3=( 1
2)
−1.5
=21.5
．
因为函数 y＝2x在定义域上为单调递增函数，所以 y1＞y3＞y2．
故选：D．
8．（2020•三明模拟）定义在 R上的函数
f(x)=¿
为偶函数，
a=f(lo g2
1
2)
，
b=f¿
，c＝f（m），则（
）
A．c＜a＜bB．a＜c＜bC．a＜b＜cD．b＜a＜c
【解析】解：定义在 R上的函数
f(x)=¿
为偶函数，
3
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