专题14 圆锥曲线中的一类定点问题（原卷版）

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高考数学必备考试技能之“二级结论*提高速度”原创精品【2020 版】
结论十四：圆锥曲线中的一类定点问题
结
论
若圆锥曲线中内接直角三角形的直角顶点与圆锥曲线的顶点重合,则斜边所在直线过定点.
(1)对于椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)上异于右顶点的两动点 A,B,以AB 为直径的圆经过右顶点(a,0),则直线
lAB 过定点
(
(a2-b2)a
a2+b2,0
)
.同理,当以 AB 为直径的圆过左顶点(-a,0)时,直线 lAB 过定点
(
-(a2-b2)a
a2+b2,0
)
.
(2)对于双曲线
x2
a2
-
y2
b2
=1(a>0,b>0)上异于右顶点的两动点 A,B,以AB 为直径的圆经过右顶点(a,0),则直
线lAB 过定点
(
(a2+b2)a
a2-b2,0
)
.同理,对于左顶点(-a,0),则定点为
(
-(a2+b2)a
a2-b2,0
)
.
(3)对于抛物线 y2=2px(p>0)上异于顶点的两动点 A,B,若
·
⃗
OB
=0,则弦 AB 所在直线过点(2p,0).同理,
抛物线 x2=2py(p>0)上异于顶点的两动点 A,B,若
⃗
OA
⊥
⃗
OB
,则直线 AB 过定点(0,2p).
解
读
圆锥曲线中的定值问题一直是近几年来高考试题中的热点问题。解决这类问题时，要善
于在动点的“变”中寻求定值或定点的“不变”性，常用特殊值法先确定定点，再转化
为有目标的一般性证明，从而达到解决问题的方法。
典
例
已知椭圆 的离心率为 ，直线 经过椭圆 的左焦点.
（1）求椭圆 的标准方程；
（2）若直线 与 轴交于点 ， 、 是椭圆 上的两个动点，且它们在 轴的两
侧， 的平分线在 轴上， |，则直线 是否过定点？若过定点，求出定点坐标；
若不过定点，请说明理由.
解
析
1
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