专题12 坐标法模型（解析版）
专题 12 坐标法模型（解析版）
一、解题技巧归纳总结
1． 坐标法
对于一般多面体的外接球，可以建立空间直角坐标系，设球心坐标为 ，利用球心到各顶点的
距离相等建立方程组，解出球心坐标，从而得到球的半径长.坐标的引入，使外接球问题的求解从繁琐的定
理推论中解脱出来，转化为向量的计算，大大降低了解题的难度.
二、典型例题
例1. 如图小正方形的边长为 1，粗实线及粗虚线画出的是某多面体的三视图，则该多面体外接球的表面积
为（ ）
А. B. C. D.
【解析】由三视图可知，该几何体为如图 1所示的四棱锥 ，其中四边形 为矩形.
图1 图2
如图 2，建立空间直角坐标系，则 ， ， .设球心 的坐标为 ，
则 ， ， ，得到方程组
1
解之得 ，于是球心 . 所以该多面体的外接球半径 ，
因此其表面积为 .故选 C.
例2. 四面体 在空间坐标系内的坐标分别为 ， ， ， ，则该四
面体的外接球的面积为（ ）
A．B．C．D．
【解析】设球心坐标为 ，
则 ，
解得 ， ， ，
四面体的外接球的半径为 ，
四面体的外接球的面积为 ，故选： ．
三、配套练习
1.空间直角坐标系中，棱长为 6的正四面体 的顶点 ， ， ，则正四面体
的外接球球心 的坐标可以是（ ）
A．B．C．D．
【解析】如图所示，建立空间直角坐标系．
设点 是底面 的中心，则 ．
取 的中点 ，连接 、 、 ，则 平面 ．
则 ， ．
2
在 中， ．
，即 ，
解得 ．
，
正四面体的外接球球心 的坐标可以是 ，故选： ．
2．某棱锥的三视图如图所示，则该棱锥的外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【解析】解析：如图，在长、宽、高分别为 的长方体中， ， 为所在棱的中点，由三视图知识可
知，几何体即为三棱锥 ，以 为坐标原点，建立空间直角坐标系如图所示
3
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