专题10 一元二次函数、方程和不等式（真题训练）-2020-2021学年高一数学单元复习（人教A版2019必修第一册）

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◎◎◎◎◎◎高考真题◎◎◎◎◎◎
1．（2020•梅州二模）若
1
a≥1
b＞
0，有下列四个不等式：①a3＜b3；②loga+23＞logb+13；③
√
b−
√
a＜
√
b−a
；④a3+b3＞2ab2．则下列组合中全部正确的为（　　）
A．①② B．①③ C．①④ D．②③
【答案】B
【解析】根据
1
a≥1
b＞
0，不妨取 a＝2，b＝3，则②④不成立，故 ACD 不正确．故选：B．
2．（2020•辽宁三模）若 4x+4y＝1，则 x+y的取值范围是（　　）
A．（﹣∞，﹣1] B．[ 1﹣，﹣∞） C．（﹣∞，1] D．[1，﹣∞）
【答案】A
【解析】由基本不等式可得，若 4x+4y＝1，有 1＝4x+4y≥2
√
4x⋅4y=¿
2
√
4x+y
，
即4x+y
≤1
4=¿
41﹣，根据指数函数 y＝4x是单调递增函数可得，x+y≤ 1﹣，
故x+y的取值范围是（﹣∞，﹣1]，故选：A．
3．（2020•葫芦岛模拟）若圆（x2﹣）2+（y1﹣）2＝5关于直线 ax+by 1﹣＝0（a＞0，b＞0）对称，
则
2
a+1
b
的最小值为（　　）
A．4 B．4
C．9 D．9
√
2
【答案】C
【解析】由题意可知，圆心（2，1）在直线 ax+by 1﹣＝0，则 2a+b＝1，
又因为 a＞0，b＞0，所以
2
a+1
b=¿
（
2
a+1
b
）（2a+b）＝5
+2b
a+2a
b≥
5+4＝9，
1
当且仅当
2b
a=2a
b
且2a+b＝1即a
¿1
3
，b
¿1
3
时取等号，此时取得最小值 9．故选：C．
4．（2020•碑林区校级一模）《几何原本》卷 2的几何代数法（以几何方法研究代数问题）成了后
世西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多的代数的公理或定理都能够通过图形实现
证明，也称之为无字证明、现有如图所示图形，点 F在半圆 O上，点 C在直径 AB 上，且
OF⊥AB，设 AC＝a，BC＝b，则该图形可以完成的无字证明为（　　）
A．
a+b
2≥
√
ab(a＞b＞0)
B．a2+b2≥2ab（a＞b＞0）
C．
2ab
a+b≤
√
ab (a＞b＞0)
D．
a+b
2≤
√
a2+b2
2
（a＞b＞0）
【答案】D
【解析】由图形可知：OF
¿1
2AB=1
2(a+b)
，OC
¿1
2(a+b)−b=1
2(a−b)
，
在Rt△OCF 中，由勾股定理可得：CF
¿
√
¿¿
，∵CF≥OF，
∴
√
1
2(a2+b2)≥1
2(a+b)
，（a，b＞0）．故选：D．
5．（2020•武汉模拟）若 0＜a＜b＜1，x＝ab，y＝ba，z＝bb，则 x、y、z的大小关系为（　　）
A．x＜z＜yB．y＜x＜zC．y＜z＜xD．z＜y＜x
【答案】A
【解析】因为 0＜a＜b＜1，故 f（x）＝bx单调递减；故：y＝ba＞z＝bb，g（x）＝xb单调递增；
故x＝ab＜z＝bb，则 x、y、z的大小关系为：x＜z＜y；故选：A．
2
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