专题09 函数的对称性与周期高一数学培优辅导（人教A版必修第一册）

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专题 09 函数的对称性与周期

【方法点拨】

1.对于函数 f(x)，若非零实数 a满足对于任意 xD∈，都有 f(a＋x) ＝f(x)，则称 a为函数的一个周期.其意义

是自变量每增加或减少 a（或其整数倍），函数值不变.其作用是转移变量的范围进行函数的求值.

2.函数奇偶性、对称性间关系：

(1)若函数 y＝f(x＋a)是偶函数，即 f(a－x)＝f(a＋x)，则函数 y＝f(x)的图象关于直线 x＝a对称；一般的，

若对于 R上的任意 x都有 f(a－x)＝f(a＋x)，则 y＝f(x)的图象关于直线

x=a+b

对称．

(2)若函数 y＝f(x＋a)是奇函数，即 f(－x＋a)＋f(x＋a)＝0，则函数 y＝f(x)关于点(a，0)中心对称；一般

的，若对于 R上的任意 x都有 f(－x＋a)＋f(x＋a)＝2b，则 y＝f(x)的图象关于点(a，b)中心对称．

说明：函数的奇偶性是特殊的对称性，遇函数的对称性问题应往奇偶性方向转化.

3. 函数对称性、周期性间关系：

若函数有多重对称性，则该函数具有周期性且最小正周期为相邻对称轴距离的 2倍，为相邻对称中心距

离的 2倍，为对称轴与其相邻对称中心距离的 4倍．

记忆口诀：多重对称性生周期性，同 2倍之异 4倍之．

【典型例题】

例1定义在 R上的奇函数的图象关于直线对称，求证：

（1）；（2）．

证明：（1）因为的图象关于直线对称，所以

所以

又因为是奇函数，所以

所以 .

（2）由（1）得 .

点评：

（1）迭代法，对于抽象函数，可反复使用法则或定义实施代入.

（2）本题是对函数的周期性与对称性之间关系的证明.

例2 定义在 R上的奇函数满足，且当时，，则

（）．

A．； B．； C．； D．．

【答案】B．

【分析】由题目中给出的双对称性得周期性，将所求转移至已知区间即可.

【解析】因为是奇函数且满足，所以

因为，所以

因为当时，

所以

另一方面

所以 .

例3 设函数的图像关于直线对称．若时，，则当时，

的解析式是（）．

A．B．

C．D．

【答案】B．

【分析】将求转移至已知区间，然后利用对称性化简.

【解析】当时，则

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