专题08（圆锥曲线中的面积问题)（解析版）-备战2021年高考数学中平面解析几何知识点提优（江苏专用）

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专题八 圆锥曲线中的面积问题
一、解答题
1. 一种作图工具如图 1所示．O是滑槽 AB 的中点，短杆 ON 可绕 O转动，长杆 MN 通过 N处铰链与 ON
连接，MN 上的栓子 D可沿滑槽 AB 滑动，且
DN =ON =1
，
MN =3.
当栓子 D在滑槽 AB 内作往复运
动时，带动 N绕O转动一周
¿
不动时，N也不动
¿
，M处的笔尖画出的曲线记为
C .
以O为原点，AB 所
在的直线为 x轴建立如图 2所示的平面直角坐标系．
¿
Ⅰ
¿
求曲线 C的方程；
¿
Ⅱ
¿
设动直线 l与两定直线
和
l2:x+2y=0
分别交于
P ,Q
两点．若直线 l总与曲线 C有且
只有一个公共点，试探究：
ΔOQP
的面积是否存在最小值？若存在，求出该最小值；若不存在，说明
理由．
自我检测
圆锥曲线面积问题是高考热点，在高考中常常涉及此类问题且位于难题的位置．本专
题以圆锥曲线中的具体问题入手，通过对解决方法进行总结辨析，使学生能够根据问
题的条件寻找与设计更合理、更简捷的运算途径，并引导学生发现这类问题所具有的
更一般性规律 .
1
【答案】解：
¿
Ⅰ
¿
设点
D
(
t , 0
)
(
|
t
|
≤2
)
，
N
(
x0, y0
)
，
M
(
x , y
)
，
依题意，
MD
⃗
=2DN
⃗
且
|
DN
⃗
|
=
|
ON
⃗
|
=1
，
所以
(
t − x , − y
)
=2
(
x0−t , y0
)
，
且
{
(
x0− t
)
2+y0
2=1,
x0
2+y0
2=1.
即
{
t − x=2x0−2t ,
y=−2y0,
且
t
(
t −2x0
)
=0
．
由于当点 D不动时，点 N也不动，
所以 t不恒等于 0，
于是
t=2x0
，
故
x0=x
4
，
y0=−y
2
，
代入
x0
2+y0
2=1
，
2
可得
x2
16 +y2
4=1
，
即所求的曲线 C的方程为
x2
16 +y2
4=1
．
¿
Ⅱ
¿①
当直线 l的斜率不存在时，
直线 l为
x=4
或
x=−4
，
都有
S▵OPQ=1
2×4×4=8
．
②
当直线 l的斜率存在时，
设直线
l:y=kx +m
(
k ≠ ± 1
2
)
，
由
{
y=kx+m,
x2+4y2=16 ,
消去 y，
可得
(
1+4k2
)
x2+8kmx+4m2−16=0
．
因为直线 l总与椭圆 C有且只有一个公共点，
所以 ，
即
m2=16 k2+4
(
∗
)
．
又由
{
y=kx+m,
x −2y=0,
可得
P
(
2m
1−2k,m
1−2k
)
；
同理可得
Q
(
−2m
1+2k,m
1+2k
)
．
3
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