专题07 一元二次函数、方程和不等式（知识梳理）高一数学单元复习一遍过（人教A版2019必修第一册）

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◎◎◎◎◎◎章末复习◎◎◎◎◎◎

1. 知识系统整合

2. 规律方法收藏

1．比较数(式)的大小

依据：a－b＞0⇔a＞b；a－b＜0⇔a＜b；a－b＝0⇔a＝b.

适用范围：若数(式)的大小不明显，作差后可化为积或商的形式．

步骤：①作差；②变形；③判断差的符号；④下结论．

变形技巧：①分解因式；②平方后再作差；③配方法；④分子(分母)有理化．

2．利用基本不等式证明不等式

(1)充分利用条件是关键，要注意“1”的整体代换及几个“＝”必须保证同时成立．

(2)利用基本不等式证明不等式是综合法证明不等式的一种情况，其实质就是从已

知的不等式入手，借助不等式的性质和基本不等式，经过逐步的逻辑推理，最后推得

所证结论，其特征是“由因导果”．

(3)证明不等式时要注意灵活变形，可以多次利用基本不等式的变形形式．

3．利用基本不等式求最值

(1)利用基本不等式求最值，必须同时满足以下三个条件：一正、二定、三相等．

即：① x，y都是正数．

②积xy(或和 x＋y)为常数(有时需通过“配凑、分拆”凑出定值)．

③x与y必须能够相等(等号能够取到)．

(2)构造定值条件的常用技巧

① 加项变换；②拆项变换；③统一换元；④平方后利用基本不等式．

4．解一元二次不等式的步骤

当a＞0时，解形如 ax2＋bx＋c＞0(≥0)或ax2＋bx＋c＜0(≤0)的一元二次不等式的

一般步骤如下：

(1)确定对应方程 ax2＋bx＋c＝0的解；

(2)画出对应函数 y＝ax2＋bx＋c的图象的简图；

(3)由图象写出不等式的解集．

特别提醒：(1)在通过图象获取解集时，注意不等式中的不等号方向、是否为严格

不等关系及 Δ＝0时的特殊情况．

(2)当a＜0时，解不等式可以从两个方面入手：①画出对应图象进行直接判定(此

时图象开口向下)；②两边同乘以－1，把 a转变为－a再进行求解．

5．一元二次不等式的实际应用

不等式在解决生活、生产中的一些实际问题中有着广泛的应用，主要有范围问题、

最值问题等．解一元二次不等式的应用问题的关键在于构造一元二次不等式模型．解

题的一般步骤是：

(1)理清题意：弄清问题的实际背景和意义，用数学语言来描述问题．

(2)简化假设：精选问题中的关键变量．

(3)列出关系式：建立变量间的不等关系式．

(4)求解：运用数学知识解相应不等式．

(5)检验并作答：将所得不等式的解集放回原题中检验是否符合实际情况，然后给

出问题的答案．

3 学科思想培优

一、常数代换法

【典例 1】已知正数 x，y满足 x+y＝1，则

x+4

1+y

的最小值为（　　）

A．5 B．

C．

D．2

【答案】C

【解析】∵x+y＝1，所以，x+（1+y）＝2，

则2

x+4

1+y)=[x+(1+y)]( 1

x+4

1+y)= 4x

1+y+1+y

x+5≥2

√

1+y⋅1+y

x+5=9

，

所以，

x+4

1+y≥9

，

当且仅当

{

1+y=1+y

x+y=1

，即当

{

x=2

y=1

时，等号成立，

因此，

x+4

1+y

的最小值为

，故选：C．

二、消元法

【典例 2】设x，y，z为正实数，满足 x2﹣y+3z＝0，则

的最小值是　　．

【答案】3

【解析】∵x2﹣y+3z＝0，∴

y=x+3z

，

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