专题05（大题专练）：数列的通项、求和问题（解析版）-2021年新高考数学二轮复习常规题型专练

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专题 05（大题专练）：数列的通项、求和问题

1.等比数列

 

中，

1 5 3

1 4a a a ，

．

（1）求

 

的通项公式；

（2）记

为

 

的前项和．若

S

，求

．

解：（1）设

{ }

的公比为，由题设得

a q





由已知得

4 2

4q q

，解得

0q

（舍去），

2q 

或

2q

故

( 2)



 

或





（2）若

( 2)



 

，则

1 ( 2)

S 



.由

S

得

( 2) 188

  

，此方程没有正整数解.

若





，则

2 1

S 

.由

S

得

2 64



，解得

6m

综上，

6m

2.已知数列{an}满足 a2-a1=1,其前 n项和为 Sn,当n≥2时,Sn-1-1,Sn,Sn+1成等差数列.

(1)求证{an}为等差数列;

(2)若Sn=0,Sn+1=4,求n.

答案:(1)证明当n≥2时,由Sn-1-1,Sn,Sn+1成等差数列,可知 2Sn=Sn-1-1+Sn+1,

即Sn-Sn-1=-1+Sn+1-Sn,即an=-1+an+1(n≥2),则an+1-an=1(n≥2),

又a2-a1=1,故{an}是公差为 1的等差数列.

(2)解由(1)知等差数列{an}的公差为 1.由Sn=0,Sn+1=4,得an+1=4,即a1+n=4.

由Sn=0,得na1+

n(n- 1 )

=0,即a1+

n-1

=0,解得 n=7.

3.(2020 全国

Ⅲ

,理17)设数列{an}满足 a1=3,an+1=3an-4n.

(1)计算 a2,a3,猜想{an}的通项公式并加以证明;

(2)求数列{2nan}的前 n项和 Sn.

解:(1)a2=5,a3=7.

猜想 an=2n+1.

由已知可得 an+1-(2n+3)=3[an-(2n+1)],

an-(2n+1)=3[an-1-(2n-1)],

……

a2-5=3(a1-3).

因为 a1=3,所以 an=2n+1.

(2)由(1)得2nan=(2n+1)2n,所以 Sn=3×2+5×22+7×23+…+(2n+1)×2n.

①

从而 2Sn=3×22+5×23+7×24+…+(2n+1)×2n+1.

②

①

②

得

-Sn=3×2+2×22+2×23+…+2×2n-(2n+1)×2n+1.

所以 Sn=(2n-1)2n+1+2.

4.已知等比数列{an}的公比 q>1，且 a3+a4+a5=28，a4+2 是a3，a5 的等差中项．数列

{bn}满足 b1=1，数列{（bn+1−bn）an}的前 n项和为 2n2+n．

（Ⅰ）求 q的值；

（Ⅱ）求数列{bn}的通项公式．

解：（Ⅰ）由

2a

是

3 5

,a a

的等差中项得

3 5 4

2 4a a a  

，

所以

3 4 5 4

3 4 28a a a a    

，

解得

8a

由

3 5

20a a 

得

8( ) 20qq

 

，

因为

1q

，所以

2q

（Ⅱ）设

( )

n n n n

c b b a



 

，数列

{ }

前n项和为

由

, 1,

, 2.

n n

S n

cS S n







 



解得

4 1

c n 

由（Ⅰ）可知





，

所以

(4 1) ( )

n n

b b n





   

，

故

(4 5) ( ) , 2

n n

b b n n



    

，

1 1 1 2 3 2 2 1

( ) ( ) ( ) ( )

n n n n n

b b b b b b b b b b

  

         

2 3

1 1 1

(4 5) ( ) (4 9) ( ) 7 3

2 2 2

n n

 

         

设

2 2

1 1 1

3 7 11 ( ) (4 5) ( ) , 2

2 2 2

T n n



         

，

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