专题05 （直线与椭圆的位置关系问题)（原卷版）-备战2021年高考数学中平面解析几何知识点提优（江苏专用）
专题五 直线与椭圆的位置关系问题
1. 已知椭圆 C：
x2
a2+y2
b2=1
(
a>b>0
)
过点
(
1,
√
2
2
)
，且离心率为
√
2
2
．
(1)
求椭圆 C的标准方程；
(2)
设过点
N
(
−1,0
)
的直线 l与椭圆交于 A，B两点，点 A关于 x轴的对称点为
C¿
点C与点 B不重合
¿
，
证明：直线 BC 恒过定点，并求该定点的坐标．
2. 已知椭圆
C:x2
a2+y2
b2=1
(
a>b>0
)
的离心率为
❑
√
3
2
，其左、右焦点分别为
F1
，
F2
，点 P为坐标平面内的
一点，且
¿OP
⃗
∨¿3
2
，
P F1
⃗
⋅P F2
⃗
=−3
4
，O为坐标原点．
(1)
求椭圆 C的方程；
(2)
设M为椭圆 C的左顶点，A，B是椭圆 C上两个不同的点，直线 MA，MB 的倾斜角分别为
α
，
β
，
且
α+β=π
2
，证明：直线 AB 恒过定点，并求出该定点的坐标．
江苏高考对直线与椭圆的位置关系的考察比较多，题目多以解答题的形式出现。而且
位置都比较靠后。对学生的运算能力要求比较高，同时要求学生能够有“数形结合”
的思想。联立方程组，利用跟与系数求解。
自我检测
1
3. 已知椭圆
E:x2
a2+y2
b2=1(a>b>0)
，以抛物线
y2=4
√
2x
的焦点为椭圆 E的一个顶点，且离心率为
√
2
2
．
(1)
求椭圆 E的方程；
(2)
若直线
l:y=kx+m(k ≠ 0)
与椭圆 E相交于 A、B两点，与直线
x=−4
相交于 Q点，P是椭圆 E上
一点，且满足
OP
⃗
=OA
⃗
+OB
⃗
¿
其中 O为坐标原点
¿
，试问在 x轴上是否存在一点 T，使得
OP
⃗
⋅TQ
⃗
为定
值？若存在，求出点 T的坐标及
OP
⃗
⋅TQ
⃗
的值；若不存在，请说明理由．
4. 已 知
F(1,0)
为椭圆 C的一个焦点，B为椭圆 C与y轴正半轴的交点，椭圆 C上的点 P满 足
OP
⃗
=OF
⃗
+
√
3
2OB
⃗
．
(1)
求椭圆 C的标准方程；
(2)
直线 l与椭圆 C相交于 P，Q两点，若以 PQ 为直径的圆经过原点，求证：原点到直线 l的距离为定
值．
2
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