专题4.4 函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及三角函数模型的简单应用（原卷版）

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2021 年高考理科数学一轮复习：题型全归纳与高效训练突破

专题 4.4 函数 y＝Asin(ωx＋φ)的图象及三角函数模型的简单应用

一、题型全归纳.............................................................................................................................................................1

题型一函数 y＝Asin(ωx＋φ)的图象及变换.......................................................................................................1

题型二求函数 y＝Asin(ωx＋φ)的解析式...........................................................................................................3

题型三　三角函数图象与性质的综合应用........................................................................................................4

类型一三角函数图象与性质的综合问题................................................................................................4

类型二函数零点(方程根)问题................................................................................................................5

题型四数学建模　三角函数实际问题..............................................................................................................7

二、高效训练突破.........................................................................................................................................................8

一、题型全归纳

题型一函数 y＝Asin(ωx＋φ)的图象及变换

【题型要点】(1)y＝Asin(ωx＋φ)的图象可用“五点法”作简图得到，可通过变量代换 z＝ωx＋φ计算五点坐

标．

(2)由y＝sin ωx 到y＝sin(ωx＋φ)的变换：向左平移(ω>0，φ>0)个单位长度而非 φ个单位长度．

(3)平移前后两个三角函数的名称如果不一致，应先利用诱导公式化为同名函数，ω为负时应先变成正值．

【例 1】已知函数 y＝2sin

(

2x+π

)

(1)求它的振幅、周期、初相；

(2)用“五点法”作出它在一个周期内的图象；

(3)说明 y＝2sin

(

2x+π

)

的图象可由 y＝sin x的图象经过怎样的变换而得到．

题型二求函数 y＝Asin(ωx＋φ)的解析式

【题型要点】确定 y＝Asin(ωx＋φ)＋B(A>0，ω>0)的解析式的步骤

(1)求A，B，确定函数的最大值 M和最小值 m，则 A＝，B＝.

(2)求ω，确定函数的周期 T，则 ω＝.

(3)求φ，常用方法有：

① 代入法：把图象上的一个已知点代入(此时要注意该点在上升区间还是在下降区间)或把图象的最高点或

最低点代入；

② 五点法：确定 φ值时，往往以寻找“五点法”中的特殊点作为突破口．具体如下：“第一点”(即图象

上升时与 x轴的交点)为ωx＋φ＝0；“第二点”(即图象的“峰点”)为ωx＋φ＝；“第三点”(即图象下降

时与 x轴的交点)为ωx＋φ＝π；“第四点”(即图象的“谷点”)为ωx＋φ＝；“第五点”(即图象上升时与 x

轴的交点)为ωx＋φ＝2π.　

【例 1】如图，函数 f(x)＝Asin(2x＋φ)(A>0，|φ|<)的图象过点(0，)，则 f(x)的函数解析式为(　　)

A．f(x)＝2sin(2x－) B．f(x)＝2sin(2x＋)

C．f(x)＝2sin(2x＋) D．f(x)＝2sin(2x－)

【例 2】函数 f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A，ω，φ是常数，A>0，ω>0，0<φ<)的部分图象如图所示，则 f(－)＝

________.

题型三　三角函数图象与性质的综合应用

类型一三角函数图象与性质的综合问题

【例 1】(2020·河南郑州三测)已知函数 f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，|φ|<)的部分图象如图所示，要使 f(a＋

x)－f(a－x)＝0成立，则 a的最小正值为(　　)

A.　　 B．　　　 C.　　 D．

类型二函数零点(方程根)问题

【题型要点】巧用图象解决三角函数相关的方程或不等式问题

解决与三角函数相关的方程或不等式问题，最基本的方法就是作出对应函数的图象，然后结合函数图象的

特征确定方程的解或不等式的解集．故准确作出对应函数在指定区间上的图象是解决问题的关键．　

【例 1】(2020· 湖南株洲二模 )若函数 f(x)＝cos

(

2x−π

)

－a

(

x∈

[

0,9π

]

)

恰有三个不同的零点

x1，x2，x3，则 x1＋x2＋x3的取值范围是(　　)

[5π

4,11 π

B．

[9π

4,7π

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