专题04 正弦定理，余弦定理和平面向量的应用（原卷版）

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专题 04 正弦定理，余弦定理和平面向量的应用
一．余弦定理，正弦定理及线段定比分点公式
1. 正弦定理
在 中，
a
sin A=b
sin B=c
sin C=2R
（
R
为 外接圆的半径）；
SΔ ABC =1
2
ab sin C=1
2
ac sin B=1
2
bc sin A
．
2.余弦定理
在 中，
a2=b2+c2−2bc cos A
,
b2=a2+c2−2ac cos B
,
c2=a2+b2−2ab cos C
．
3．线段的定比分点公式
设 、 ， 分有向线段 所成的比为 ，则 ，特别地，当
λ
＝1
时，就得到线段
,
P2
的中点公式 ．在使用定比分点的坐标公式时，应明确 ， ,
的意义，即分别为分点，起点，终点的坐标．在具体计算时应根据题设条件，灵活地确定起点，
分点和终点，并根据这些点确定对应的定比
λ
．
二．考点讲解
考点一：余弦定理
例 1：在 中. 分别是内角 的对边.已知 .则角 等于（ ）
A． B． C． D．
1
同步导练：
1．在 中， ， ， 的对边分别是 ， ， ，面积 ，则 （ ）
A． B． C． D．
2．在 中，角 ， ， 的对边分别是 ， ， ，且 ， ， 成等差， ，则 的取值
范围是（ ）
A． B． C． D．
3．如图，在平行四边形 中， 是 的中点，且 在直线 上，且 ，记 ，
，若 .
（1）求 的值；
（2）若 ， ，且 ，求 .
考点二：正弦定理及解三角形综合
例 2：在 中，已知 ，那么 一定是（ ）
A．等腰直角三角形 B．等腰三角形
C．直角三角形 D．等边三角形
2
例 3：在 中， ， ，则 的最大值为_______．
同步导练：
1．在 中， ， ， 分别为 ，
∠B
， 的对边，如果 ，那么 的
值为（ ）
A． B． C． D．
2．已知 的内角 、 、 的对边分别为 、 、 ，且满足 ， ，
，则边长 的值为（ ）
A． B．
C． D．
3．（多选）下列结论正确的是（ ）
A．在 中，若 ，则
B．在锐角 中，不等式 恒成立
C．在 中，若 ， ，则 为等腰直角三角形
D．在 中，若 ， ，三角形面积 ，则三角形外接圆半径为
4．在 中，点 是边 的中点， ， ，则 的最大值为___________.
3
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