专题04 正弦定理，余弦定理和平面向量的应用（解析版）

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专题 04 正弦定理，余弦定理和平面向量的应用
一．余弦定理，正弦定理及线段定比分点公式
1. 正弦定理
在 中，
a
sin A=b
sin B=c
sin C=2R
（
R
为 外接圆的半径）；
SΔ ABC =1
2
ab sin C=1
2
ac sin B=1
2
bc sin A
．
2.余弦定理
在 中，
a2=b2+c2−2bc cos A
,
b2=a2+c2−2ac cos B
,
c2=a2+b2−2ab cos C
．
3．线段的定比分点公式
设 、 ， 分有向线段 所成的比为 ，则 ，特别地，当
λ
＝1
时，就得到线段
,
P2
的中点公式 ．在使用定比分点的坐标公式时，应明确 ， ,
的意义，即分别为分点，起点，终点的坐标．在具体计算时应根据题设条件，灵活地确定起点，
分点和终点，并根据这些点确定对应的定比
λ
．
二．考点讲解
考点一：余弦定理
例 1：在 中. 分别是内角 的对边.已知 .则角 等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
1
【分析】先用余弦定理化角为边，再用余弦定理求得角．
【详解】由已知 ，则 ，
所以 ，又 ，所以 ．
故选：D．
同步导练：
1．在 中， ， ， 的对边分别是 ， ， ，面积 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用面积 ，然后再运用余弦定理将 代入，然后化简得到关
于 与 的关系式，再联立 求解即可.
【详解】因为 ，所以 ，
整理得： ，所以 ①，又 ②，联立①②
解得 .
故选：B.
2．在 中，角 ， ， 的对边分别是 ， ， ，且 ， ， 成等差， ，则 的取值
范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
2
【分析】在 中，由 ， ， 成等差，结合三角形内角和定理得 ，再由余弦定理
列式，配方后利用基本不等式求解．
【详解】在 中，由 ， ， 成等差，可得 ，
由 ，得 ， ．
由余弦定理 ，
可得 ，
即 ，
则 ，解得： ．
又 ．
的取值范围是 ， ．
故选：A
【点睛】关键点点睛：利用余弦定理可得等式 ，运用均值不等式可得关于
的一元二次不等式，解不等式可求解，这是本题的解题关键，属于中档题.
3．如图，在平行四边形 中， 是 的中点，且 在直线 上，且 ，记 ，
，若 .
（1）求 的值；
3
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