专题04 圆锥曲线中优化运算策略分析（文）（解析版）

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专题 04 圆锥曲线中优化运算策略分析
内容提要
纵观历年高考真题，圆锥曲线中运算复杂，综合性强.考场上处于紧张状态，考生容易产生畏难情绪，
究其原因，运算中代数变形方向性不明，导致迷失方向，运算盲目，为此本文提出优化运算策略，本文首
先重点推荐定比点差法，然后坚守传承传统方法.勤思，执着，是解析几何赋予人们的内涵，人们完善解析
几何优化计算的过程，也是在完善自我的修行.
方法归纳
①定比点差 整体代入
②回归定义 溯本求源
③引入参数 统一变量
④巧用对称 三点共线
⑤设而不求 韦达定理
⑥合理用点 巧妙设线
⑦巧用平几 妙手回春
⑧巧妙设点 柳暗花明
溯本求源
例1．（2019 成都七中高三月考）在直角坐标平面中，已知 的顶点 ， ， 为平面
内的动点，且 .
（1）求动点 的轨迹 的方程；
（2）设过点 且不垂直于 轴的直线 与 交于 ， 两点，点 关于 轴的对称点为 ，证明：
直线 过 轴上的定点.
【解析】（1）设 ，由已知 ，
1
∴，
∴（ ），
化简得点 的轨迹 的方程为： （ ）；
方法一：设而不求 韦达定理
（2）由（1）知，过点 的直线 的斜率为 0时与 无交点，不合题意
故可设直线 的方程为： （ ），代入 的方程得：
.
设 ， ，则 ，
，.
∴直线 ： .
令 ，得
.
直线 过 轴上的定点 .
反思提升
①定比点差 整体代入
方法二：设 ， ，直线 过 轴上的定点 则 ，
2
⃗
RF=λ
⃗
FP⇒¿
{
x1+λx2
1+λ=1¿¿¿
⃗
RT =μ
⃗
TS⇒¿
{
x1+μx2
1+μ=t¿¿¿
由
{
y1+λy2=0¿¿¿¿
得
μ=− λ
.
{
x1
2
4+y1
2
3=1¿¿¿¿
即
，得
t=4
.
所以直线 过 轴上的定点 .
【评析】本题主要考查轨迹方程的求法、余弦定理的应用和利用直线和圆锥曲线的位置关系求定点问
题，突出韦达定理，设而可求思想，意在考查学生的运算求解能力和转化能力，考查数形结合思想，
考查的核心素养是逻辑推理，数学运算.方法一传统，实用范围广泛；方法二清新自然，揭示本质.
推广延伸
如图所示，设椭圆
x2
a2+y2
b2=1
(a>b>0)
，设过点 且不垂直于 轴的直线 与 交于 ，
两点，点 关于 轴的对称点为 ，则直线 过 轴上的定点 ，
xF
⋅xT
a2=1
.
证明：方法同上类似,此处不再赘述．
类比联想
①设
A
,
B
为椭 圆
x2
a2+y2
b2=1
(a>b>0)
上的两点，若存在
P
，
Q
两点，满足
⃗
AP=λ
⃗
PB
,
3
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