专题04 求数列的通项公式（原卷版）

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第二篇 数列与不等式
专题 04 求数列的通项公式
类型 对应典例
已知 求数列的通项公式（n=1 的验证） 典例 1
已知 与 的递推式求通项公式（构造法） 典例 2
已知 与 的递推式求通项公式（构造法） 典例 3
已知 递推式求通项公式 典例 4
已知 分式结构求通项公式
典例 5
已知 与 的递推式求通项公式（因式分解） 典例 6
已知数列中三项之间递推关系求通项公式 典例 7
【典例 1】【2021·安徽高三期末】
已知数列 的前 n项和 ．
（1）证明： 是等比数列．
（2）求数列 的前 n项和．
【思路引导】（1）根据 ，利用数列通项和前 n项和的关系 求得 ，
再利用等比数列的定义证明.
1
（2）根据 ，得到 ，再利用等差数列的前 n项和公式求解.
【典例 2】【2021·山东临沂市·高三模拟】
己知数列 满足
（1）证明:数列 是等差数列，并求数列 的通项公式;
（2）设 为数列 的前 项和，证明
【思路引导】（1）构造数列 ，根据 为等差数列，即可求得结果.
（2）由裂项相消法即可求和，进而证明不等式.
【典例 3】【2021·江苏盐城市·高三一模】
设正项数列 的前 n项和为 ， .
（1）求数列 的通项公式；
（2）求证： .
2
【思路引导】（1）先算 ，再化成递推式求解.
（2）带入化简，运用裂项相消法求和即可证明.
【典例 4】【2020 届湖北省黄冈市高三上学期期末】
已知数列 满足 ， ， ，2，.
求数列 的通项；
设 ，求 ．
【思路引导】
利用数列的递推关系式推出 ，通过当 n为奇数，当 n为偶数，
，分别求解通项公式；
化简 ，然后求解数列的和即可．
【典例 5】【2021 江苏省南京市重点中学联考】
数列 中， ， ，求 的通项公式.
3
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