专题04 概率统计（解析版）

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概率统计专项练习

1．某市在争取创建全国文明城市称号，创建文明城市简称创城.是极具价值的无形资

产和重要城市品牌.“创城”期间，将有创城检查人员到学校随机找人进行提问.问题包

含：中国梦内涵、社会主义核心价值观、精神文明“五大创建”活动、文明校园创建

“六个好”、“五个礼让”共个问题，提问时将从中抽取个问题进行提问.某日，

创城检查人员来到校，随机找了三名同学甲、乙、丙进行提问，其中甲只背了个

问题中的个，乙背了其中的个，丙背了其中的个.计一个问题答对加分，答错

不扣分，最终三人得分相加，满分分，达到分该学校为合格，达到分时该学

校为优秀.

（1）求校优秀的概率（保留位小数）；

（2）求出校答对的问题总数的分布列，并求出校得分的数学期望；

（3）请你为创建全国文明城市提出两条合理的建议.

2．某公司研发了一种帮助家长解决孩子早教问题的萌宠机器人.萌宠机器人语音功能

让它就像孩子的小伙伴一样和孩子交流，记忆功能还可以记住宝宝的使用习惯，很快

找到宝宝想听的内容.同时提供快乐儿歌、国学经典、启蒙英语等早期教育内容，且云

端内容可以持续更新.萌宠机器人一投放市场就受到了很多家长欢迎.为了更好地服务广

大家长，该公司研究部门从流水线上随机抽取 100 件萌宠机器人（以下简称产品），

统计其性能指数并绘制频率分布直方图（如图 1）：

产品的性能指数在的适合托班幼儿使用（简称 A类产品），在的适合

小班和中班幼儿使用（简称 B类产品），在的适合大班幼儿使用（简称 C类

产品），A，B，C，三类产品的销售利润分别为每件 1.5，3.5，5.5（单位：元）.以这

100 件产品的性能指数位于各区间的频率代替产品的性能指数位于该区间的概率.

（1）求每件产品的平均销售利润；

（2）该公司为了解年营销费用（单位：万元）对年销售量（单位：万件）的影响，

对近5年的年营销费用，和年销售量数据做了初步处理，得到的

散点图（如图 2）及一些统计量的值.

16.30 24.87 0.41 1.64

表中，，， .

根据散点图判断，可以作为年销售量（万件）关于年营销费用（万元）

的回归方程.

（i）建立关于的回归方程；

（ii）用所求的回归方程估计该公司应投入多少营销费，才能使得该产品一年的收益达

到最大？

（收益=销售利润-营销费用，取）.

参考公式：对于一组数据，其回归直线的斜率

和截距的最小二乘估计分别为， .

3．甲，乙两人进行抛硬币游戏，规定：每次抛币后，正面向上甲赢，否则乙赢.此时，

两人正在游戏，且知甲再赢 (常数)次就获胜，而乙要再赢 (常数)次才

获胜，其中一人获胜游戏就结束.设再进行次抛币，游戏结束.

（1）若，，求概率；

（2）若，求概率的最大值(用表示).

4．某工厂为了提高生产效率，对生产设备进行了技术改造，为了对比技术改造后的效

果，采集了技术改造前后各20 次连续正常运行的时间长度(单位：天)数据，整理如下：

改造前：

19，31，22，26，34，15，22，25，40，35，18，16，28，23，34，15，26，20，24

，21

改造后：

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