专题04 第六章 平面向量及其应用（知识串讲）-(新教材)2020-2021学年新高二高中数学（人教A2019）衔接讲与练

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专题四 平面向量及其应用（知识串讲）
★★★★必备知识★★★★
1.向量的有关概念
(1)向量：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的长度 ( 或模 ) .
(2)零向量：长度为
0
的向量，其方向是任意的.
(3)单位向量：长度等于 1
个单位 的向量.
(4)平行向量：方向相同或相反的非零向量.平行向量又叫共线向量.规定：0与任一向量
平行.
(5)相等向量：长度相等且方向相同的向量.
(6)相反向量：长度相等且方向相反的向量.
2.向量的线性运算
向量运算 定　义 法则(或几何意义)运算律
加法 求两个向量和
的运算
(1)交换律：
a＋b＝b ＋ a .
(2)结合律：
(a＋b)＋c＝
a ＋ ( b ＋ c )
减法
减去一个向量
相当于加上这
个向量的相反
向量
a－b＝a＋(－b)
数乘
求实数 λ与向
量a的积的运
算
(1)|λa|＝| λ || a | ；
(2)当λ＞0时，λa的方向与 a
的方向相同；当 λ＜0时，λa
的方向与 a的方向相反；当 λ
＝0时，λa＝0
λ(μa)＝λμ a ；
(λ＋μ)a＝λ a ＋ μ a ；
λ(a＋b)＝λ a ＋ λ b
3.共线向量定理
向量 a(a≠0)与b共线的充要条件是存在唯一一个实数 λ，使得 b ＝ λ a .
1
1.平面向量的基本定理
如果 e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量 a，有且
只有一对实数 λ1，λ2，使 a＝λ1e1＋ λ 2e2.
其中，不共线的向量 e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底.
2.平面向量的正交分解
把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解.
3.平面向量的坐标运算
(1)向量加法、减法、数乘运算及向量的模
设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则
a＋b＝( x 1＋ x 2， y 1＋ y 2)，a－b＝( x 1－ x 2， y 1－ y 2)，λa＝( λx 1， λy 1)，|
a
|＝ ＝
(2)向量坐标的求法
① 若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标.
②设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 ＝( x 2－ x 1， y 2－ y 1)， ＝ .
4.平面向量共线的坐标表示
设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则 a∥b⇔x1y2－ x 2y1＝ 0 .
5.平面向量数量积的有关概念
(1) 向量的夹角：已知两个非零向量 a和b， 记 ＝ a， ＝ b， 则 ∠ AOB ＝
θ(0°≤θ≤180°)叫做向量 a与b的夹角.
(2)数量积的定义：已知两个非零向量 a与b，它们的夹角为 θ，则 a与b的数量积(或内
积)a·b＝| a || b |cos __θ.规定：零向量与任一向量的数量积为 0，即 0·a＝0.
(3)数量积的几何意义：数量积 a·b等于 a的长度|a|与b在a的方向上的投影| b |cos __θ
的
乘积.
2.平面向量数量积的性质及其坐标表示
设向量 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ为向量 a，b的夹角.
(1)数量积：a·b＝|a||b|cos θ＝x1x2＋y1y2.
(2)模：|
a
|＝ ＝ .
2
(3)夹角：cos θ＝.
(4)两非零向量 a⊥b的充要条件：a·b＝0⇔x1x2＋y1y2＝0.
(5)|a·b|≤|a||b|(当且仅当 a∥b时等号成立)⇔|x1x2＋y1y2|≤.
6. 正、余弦定理
在△
ABC
中，若角
A
，
B
，
C
所对的边分别是
a
，
b
，
c
，
R
为△
ABC
外接圆半径，则
定理 正弦定理 余弦定理
公式
a
2＝
b
2
＋
c
2
－
2
bc
cos
__
A
；
b
2
＝
c
2
＋
a
2
－
2
ca
cos
__
B
；
c
2＝
a
2
＋
b
2
－
2
ab
cos
__
C
常见
变形
(1)
a
＝2
R
sin
A
，
b
＝2
R
sin __
B
，
c
＝2
R
sin __
C
；
(2)sin
A
＝ ，sin
B
＝ ，sin
C
＝ ；
(3)
a
∶
b
∶
c
＝sin__
A
∶sin
__
B
∶sin
__
C
；
(4)
a
sin
B
＝
b
sin
A
，
b
sin
C
＝
c
sin
B
，
a
sin
C
＝
c
sin
A
cos
A
＝ ；
cos
B
＝ ；
cos
C
＝
2.
S
△
ABC
＝
ab
sin
C
＝
bc
sin
A
＝
ac
sin
B
＝ ＝ (
a
＋
b
＋
c
)·
r
(
r
是三角形内切圆的半
径)，并可由此计算
R
，
r
.
3.在△
ABC
中，已知
a
，
b
和
A
时，解的情况如下：
A
为锐角
A
为钝角或直角
图形
关系式
a
＝
b
sin
A b
sin
A
<
a
<
b a
≥
b a
>
b a
≤
b
解的个数 一解 两解 一解 [ 来源 : 学 # 科 # 网
Z#X#X#K] 一解 无解
★★★★常用结论★★★★
3
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