专题04 导数研究函数零点个数和求参（解析版）-2020-2021学年高二数学导数知识题型全归纳（人教A版选修2-2）

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导数章节知识题型全归纳
专题 04 导数研究函数零点个数和求参
例：1．已知曲线 与曲线 有且只有两个公共点，则实数 a的取值范围为（
）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】
将问题转化为 与 有且仅有两个交点，利用导数可求得 的单调性和最值，由此可确定
图象，利用数形结合的方式可求得 的范围.
【详解】
与 有且仅有两个公共点等价于方程 在 上有且仅有两个不等实根，
时， ， ，
令 ，可知 与 有且仅有两个交点，
，
令 ，则 ，
在 上单调递增，又 ，
当 时， ；当 时， ；
当 时， ；当 时， ；
1
在 上单调递增，在 上单调递减， ；
又 时， ； 时， ，可得 图象如下图所示：
则当 时， 与 有且仅有两个交点，即 与 有且仅有两个公共点.
故选：A.
【点睛】
方法点睛：已知两函数交点个数，可将问题转化为根据函数零点(方程根)的个数求参数值(取值范围)的问题，常用
的方法有：
（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；
（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；
（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数
形结合的方法求解.
2．已知函数 ，则以下结论不正确个数的是（ ）
① 在 上单调递增
②
③ 方程 有实数解
④ 存在实数 ，使得方程 有 4个实数解
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】A
【分析】
2
对 求导，由导函数的符号可判断 的单调性，即可判断选项①；
由 ，以及 的单调性即可判断选项②；
令 ，由零点存在定理可判断选项③；
等价于 ，有一个根为 ，所以原方程有 4个根等价于方程 有 个实数解，令
，对 求导判断单调性，作出函数图象，数形结合即可判断选项④.
【详解】
由 可得 ，
由 可得： ，由 可得： ，
所以 在 单调递减，在 单调递增，故选项①不正确；
对于选项②： ，根据 在 单调递增，
所以 ，故选项②正确；
对于选项③：令 ，因为 ，
， ，根据零点存在定理可知存在 使得
，所以方程 有实数解，故选项③正确；
对于选项④：方程 即 ，有一根为 ，所以原方程有 4个根等价于方程 有 个
实数解，
令 ，则 ，
令 可得 或 ，
3
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