专题04 导数的计算与复合函数导数的计算（重难点突破）解析版2021年春季高二数学辅导讲义(人教A版 )

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专题 04 导数的计算与复合函数导数的计算
【重难点知识点网络】：
1．几个常用函数的导数
几个常用函数的导数如下表：
函数 导数
（ 为常数）
2．基本初等函数的导数公式
（1）若 ，则 ；
（2）若 ，则 ；
（3）若 ，则 ；
（4）若 ，则 ；
（5）若 ，则 ；
（6）若 ，则 ；
（7）若 ，则 ；
（8）若 ，则 ．
3．导数运算法则
（1） ；
（2） ；
1
（3） ．
4．复合函数的导数
（1）复合函数的定义
一般地，对于两个函数 和 ，如果通过变量 ， 可以表示成 的函数，那么称这个
函数为函数 和 的复合函数(composite function)，记作 ．
（2）复合函数的求导法则
复合函数 的导数和函数 ， 的导数间的关系为___________，即 对
的导数等于 对 的导数与 对 的导数的乘积．
（3）如果函数
ϕ(x)
在点 x处可导，函数 f (u)在点 u=
ϕ(x)
处可导，则复合函数 y= f (u)=f [
ϕ(x)
]在
点x处也可导，并且 (f [
ϕ(x)
])ˊ=
f'
[
ϕ(x)
]
ϕ'(x)
或记作
yx
'
=
yu
'
•
熟记链式法则
若y= f (u)，u=
ϕ(x)
⇒
y= f [
ϕ(x)
]，则
yx
'
=
f'(u)ϕ'(x)
若y= f (u)，u=
ϕ(v)
，v=
ψ(x)
⇒
y= f [
ϕ(ψ(x))
]，
yx
'
=
f'(u)ϕ'(v)ψ'(x)
【重难点题型突破】：
一、简单的函数求导问题
例1．（1）（2021·全国高二课时练习）下列各式中正确的是（ ）
A．(logax)′= B．(logax)′= C．(3x)′=3x D．(3x)′=3xln3
【答案】D
【分析】根据求导公式直接可判断.
【详解】由(logax)′= ，可知 A，B均错；由(3x)′=3xln3 可知 D正确.故选：D
（2）.（2021·全国高二课时练习）设函数 f(x)=cosx，则 =（ ）
2
A．0 B．1 C．-1 D．以上均不正确
【答案】A
【分析】
根据常数的导数为 0可直接得解.
【详解】
因为 为常数，所以
故选：A
（3）.（2020·全国高二课时练习）已知函数 ，则 _________.
【答案】
【分析】
利用复合函数的求导法则可求得 .
【详解】
，因此， .
故答案为： .
【变式训练 1-1】、（2021·全国高二课时练习）求下列函数的导数．
（1） ；
（2） ；
（3） ；
（4） ；
3
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