专题04 直线与抛物线相结合问题（解析版）

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第五篇 解析几何
专题 04 直线与抛物线相结合问题
类型 对应典例
直线与抛物线相结合求直线方程 典例 1
直线与抛物线的位置关系 典例 2
抛物线中的弦长问题 典例 3
抛物线中的中点弦问题 典例 4
抛物线中的焦点弦问题 典例 5
【典例 1】【2021·海南高三第二次模拟考试】（）已知抛物线 的顶点为坐标原点，焦点为圆 ：
的圆心， 轴负半轴上有一点 ，直线 被 截得的弦长为 5．
（1）求点 的坐标；
（2）过点 作不过原点的直线 ， 分别与抛物线 和圆 相切， ， 为切点，求直线 的方
程．
【思路引导】（1）先对圆的方程标准化，得到焦点坐标，得出抛物线方程，由已知设直线 为
，联立后，利用弦长公式计算即可求得结果；
（2）由条件可设直线 的方程为 ，与抛物线方程联立，因为 与抛物线 相切，由 ，
求得得 ，进而解得 的坐标，设 ，由题意可知点 与坐标原点关于直线 对称，解得 点
坐标，进而可求得直线 的方程．
【解析】（1）圆 的方程可化成 ，所以 ，
所以抛物线 的方程为 ．
1
设 ，则直线 的方程为 ，
由 消去 ，得 ，
设直线 与 的交点横坐标分别为 和 ，由题意知 ，
即 ，解得 ，故 ．
（2）由条件可设直线 的方程为 ，
由 消去 ，整理得 ，
因为 与抛物线 相切，所以 ，解得 ．
代入原方程组解得 ．
设 ，由题意可知点 与坐标原点关于直线 ： 对称，
所以 解得 ．
所以直线 的方程为 ，即 ．
【典例 2】【东北三省三校 2019 届高三第三次模拟】抛物线 的焦点为 ，准线为 ，若 为抛物
线上第一象限的一动点，过 作 的垂线交准线 于点 ，交抛物线于 两点.
2
（Ⅰ）求证：直线 与抛物线相切；
（Ⅱ）若点 满足 ，求此时点 的坐标.
【思路引导】
（Ⅰ）设 ，由此可得直线 的斜率，进而得到直线 的斜率，由此得到
的方程为 ，令 可得点 的坐标，于是可得直线 的斜率．然后再由导数的几
何意义得到在点 A处的切线的斜率，比较后可得结论．（Ⅱ）由（Ⅰ）知 ，直线 的方程为
，将直线方程与椭圆方程联立消元后得到二次方程，结合根与系数的关系及 可
求得点 A的坐标．
【详解】
（Ⅰ）由题意得焦点 ．设 ，
∴直线 的斜率为 ，
由已知直线 斜率存在，且直线 的方程为 ，
令 ，得
l1:y=kx +m
，
3
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