专题04 立体几何的探索性问题（解析版）

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第三篇立体几何

专题 04 立体几何的探索性问题

类型对应典例

探索位置问题典例 1

“线定，面动”探索线面平行问题典例 2

“线动，面定”探索线面平行问题典例 3

探索线线垂直问题典例 4

探索线面垂直问题典例 5

探索面面垂直问题典例 6

探索二面角问题典例 7

【典例 1】【2021·六盘山高级中学高三一模】

如图，在直角梯形 ABCD 中，AB DC，∠ABC=90°，AB=2DC=2BC，E为AB 的中点，沿 DE 将△ADE 折起，

使得点 A到点 P位置，且 PE⊥EB，M为PB 的中点，N是BC 上的动点(与点 B，C不重合).

（1）求证：平面 EMN⊥平面 PBC；

（2）是否存在点 N，使得二面角 B﹣EN﹣M的余弦值？若存在，确定 N点位置；若不存在，说明理由.

【思路引导】（1）根据题意，先证明 EM⊥平面 PBC，再利用面面垂直的判定定理，证明结论；

（2）以 E为原点，EB，ED，EP 分别为 x，y，z轴建立空间直角坐标系，设 PE=EB=2，设 N(2，m，0)，求出

平面 EMN 的法向量，利用夹角公式求出 m，得到结论.

【解析】（1）证明：由 PE⊥EB，PE⊥ED，EB∩ED=E，

所以 PE⊥平面 EBCD，又 BC⊂平面 EBCD，

故PE⊥BC，又 BC⊥BE，故 BC⊥平面 PEB，

EM⊂平面 PEB，故 EM⊥BC，

又等腰三角形 PEB，EM⊥PB，

BC∩PB=B，故 EM⊥平面 PBC，

EM⊂平面 EMN，

故平面 EMN⊥平面 PBC；

（2）假设存在点 N，使得二面角 B﹣EN﹣M的余弦值 .

以E为原点，分别为 x，y，z轴建立空间直角坐标系，

设PE=EB=2，设 N(2，m，0)，B(2，0，0)，D(0，2，0)，

P(0，0，2)，C(2，2，0)，M(1，0，1)，

，，，

设平面 EMN 的法向量为，

由，令，得，

平面 BEN 的一个法向量为，

故，

解得：m=1，故存在 N为BC 的中点.

【典例 2】【2020 届江西省赣州市高三上学期期末考试】

如图，在平行四边形中，，平面平面，且

（1）在线段上是否存在一点，使平面，证明你的结论；

（2）求二面角的余弦值.

【思路引导】

（1）容易判断出点为的中点，根据中位线定理得到，再根据线面平行的判定定理证明即

可；

（2）根据题目给出的数据，找出两两垂直的关系，建立空间直角坐标系，利用向量法求出二面角

的余弦值.

【详解】

（1）存在点，点为的中点

证明：当点为的中点时，连结交于，

∵平行四边形，∴ 为的中点，

连结，则，

∵ 平面，平面，∴ 平面 .

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