专题04 二项分布与超几何分布（解析版）

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第四篇 概率与统计
专题 04 二项分布与超几何分布
类型 对应典例
明确样本容量（较小），利用超几何分布的求解 典例 1
不放回型抽样问题，利用超几何分布的求解 典例 2
出现频率估计概率时，利用二项分布解决问题 典例 3
放回型重复试验，利用二项分布解决问题 典例 4
与正态分布相结合的二项分布问题 典例 5
明确样本容量（非常大），利用二项分布解决问题 典例 6
利用二项分布的函数特性的求最值 典例 7
【典例 1】【2021·北京通州区·高三一模】
我国探月工程嫦娥五号探测器于 2020 年12 月1日23 时11 分降落在月球表面预选着陆区，在顺利完成月
面自动采样之后，成功将携带样品的上升器送入到预定环月轨道，这是我国首次实现月球无人采样和地外
天体起飞，对我国航天事业具有重大而深远的影响．某校为了解高中生的航空航天知识情况，设计了一份
调查问卷，从该校高中生中随机抽取部分学生参加测试，记录了他们的分数，将收集到的学生测试的评分
数据按照 分组，绘制成评分频率分布直方图，
如下：
（1）从该校高中生中随机抽取的学生的测试评分不低于 80 分的学生有 9人，求此次抽取的学生人数；
1
（2）在测试评分不低于 80 分的 9名学生中随机选取 3人作为航空航天知识宣传大使，记这 3名学生中测
试评分不低于 90 分的人数为 X，求 X的分布列和数学期望；
（3）观察频率分布直方图，判断该校高中生测试评分的均值 a和评分的中位数 b的大小关系．（直接写出
结论）
【思路引导】（1）先求出学生的测试评分不低于 分的频率，再求出此次抽取的学生人数；
（2）先求出学生的测试评分不低于 分的 名学生中，评分在 的有 人，在 的有 人，
所以 的可能取值为 0，1，2，3．再求出对应的概率，即得 X的分布列和数学期望；
（3）观察频率分布直方图，直接写出结论.
【解析】（1）由图知，学生的测试评分不低于 分的频率 ．
设抽取的学生人数为 ，
所以 ．解得 ．
所以此次抽取的学生人数为 ．
（2）由图知，学生的测试评分在 的频率 ，在 的频率
所以 ， ．
所以学生的测试评分不低于 分的 名学生中，评分在 的有 人，在 的有 人，
所以 的可能取值为 0，1，2，3．
； ；
； ．
所以 的分布列为
3
所以 的数学期望 ．
2
（3） ．
【典例 2】【重庆南开中学 2019-2020 学年高三上学期第四次教学质量检测】
某省从 2021 年开始将全面推行新高考制度，新高考“ ”中的“2”要求考生从政治、化学、生物、
地理四门中选两科，按照等级赋分计入高考成绩，等级赋分规则如下：从 2021 年夏季高考开始，高考政治、
化学、生物、地理四门等级考试科目的考生原始成绩从高到低划分为 五个等级，确定各等级
人数所占比例分别为 ， ， ， ， ，等级考试科目成绩计入考生总成绩时，将 至
等级内的考生原始成绩，依照等比例转换法分别转换到、 、 、 、
五个分数区间，得到考生的等级分，等级转换分满分为 100 分.具体转换分数区间如下表：
等级
比例
赋分区间
而等比例转换法是通过公式计算：
其中 ， 分别表示原始分区间的最低分和最高分， 、分别表示等级分区间的最低分和最高分，
表示原始分， 表示转换分，当原始分为 ， 时，等级分分别为、，假设小南的化学考试成绩信
息如下表：
考生科目 考试成绩成绩等级 原始分区间 等级分区间
化学75 分等级
设小南转换后的等级成绩为 ，根据公式得： ，
所以 （四舍五入取整），小南最终化学成绩为77 分.
3
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