专题04 （圆锥曲线基本量的运算问题)(教案)-备战2021年高考数学中平面解析几何知识点提优（江苏专用）

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专题四 圆锥曲线基本量的运算问题
例题 1.（2020 江苏，6题）在平面直角坐标系 xOy 中，若双曲线
x2
a2−y2
5=1(a>0)
的一条渐近线方程为
y=
√
5
2x
，则该双曲线的离心率是______．
【答案】
3
2
【解析】解：双曲线
x2
a2−y2
5=1(a>0)
的一条渐近线方程为
y=
√
5
2x
，可得
√
5
a=
√
5
2
，所以
a=2
，
所以双曲线的离心率为：
e=c
a=
√
4+5
2=3
2
，
故答案为：
3
2
．
利用双曲线的渐近线方程，求出 a，然后求解双曲线的离心率即可．
本题考查双曲线的简单性质的应用，是基本知识的考查．
思维升华
(1)明确圆锥曲线中 各量之间的关系是求解问题的关键.
(2)在求解有关离心率的问题时，一般并不是直接求出 的值，而是根据题目给出的椭圆或双曲线的几
何特点，建立关于参数 的方程或不等式，通过解方程或不等式求得离心率的值或范围.
基本知识
江苏高考对圆锥曲线基本量的运算考查，一般以选择填空题为主，若是考查双曲线和
抛物线，则试题为容易题，若是考查椭圆或圆锥曲线与直线、圆的综合，试题为中档
题，考查重点是圆锥曲线的几何性质，特别是离心率的有关计算 .
1. 直击高
考
1
离心率：
椭圆标准方程：
焦点在 轴：
焦点在 轴：
双曲线标准方程：
焦点在 轴：
焦点在 轴：
抛物线标准方程：
离心率：
例2.（2020 全国，15 题）已知 F为双曲线
C:
−
¿1(a>0, b>0)
的右焦点，A为C的右顶点，B为C
上的点且 BF 垂直于 x轴
.
若AB 的斜率为 3，则 C的离心率为__________．
【答案】2
【解析】
【分析】
本题考查双曲线的几何性质以及离心率的求法，属于中档题．
分别求出 A，B点坐标，再根据条件列方程即可求解．
【解答】
2
解：由题意可知，B在双曲线 C的右支上，且在 x轴上方，
∵BF
垂直于 x轴，
把
x=c
代入
x2
a2−y2
b2=1
，得
y=b2
a
，
∴
B点坐标为
(c , b2
a)
，
又A点坐标为
(a , 0)
，
∴kAB=
b2
a−0
c −a =3
，
化简得
b2=3ac − 3a2=c2−a2
，
即
2a2−3ac +c2=0
，
解得
c=2a
或
c=a¿
舍
¿
，
故
e=c
a=2
．
故答案为 2．
例3（2020 山东，13 题）斜率为 的直线过抛物线
C:
¿4x
的焦点，且与 C交于 A，B两点，则
¿AB∨¿
__________．
【答案】
16
3
【解析】
【分析】
本题考查直线与抛物线的位置关系，焦点弦的求法，属于基础题．
先求出抛物线的交点坐标，从而求出直线方程，联立直线与抛物线方程，由根与系数的关系从而可求得焦
点弦．
3
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