专题3.12 恒成立、存在性问题（新高考）（原卷版）

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专题 3.12 恒成立、存在性问题
1．恒成立、存在性问题的求解思路：
（1）转化为基本函数（曲线）问题：数形结合，利用函数图象或曲线性质求解，如一
次函数端点法，二次函数判别式、指对函数切线法、根式平方联想圆等等；
（2）分离参数法：转化为函数最值问题求解；
（3）变换主元法：参数与变量角色转化，以参数为自变量，构建函数再求解．
2．不等式恒成立问题的求解策略：
（1）分离参数 恒成立( )或 恒成立（ ）；
（2）数形结合( 图象在 上方即可)；
（3）讨论最值 或 恒成立．
3．不等式能恒成立求参数值(取值范围)的求解策略：
（1）函数法：讨论参数范围，借助函数单调性求解；
（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域或最值问题加以解决；
（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系
中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解．
4．对于已知函数 的单调性求参数问题：
（1）已知可导函数 在区间 上单调递增，转化为区间 上 恒成立；
（2）已知可导函数 在区间 上单调递减，转化为区间 上 恒成立；
（3）已知可导函数 在区间 上存在增区间，转化为 在区间 上有解；
（4）已知可导函数 在区间 上存在减区间，转化为 在区间 上有解．
1
【预测题 1】已知函数 ．
（1）设 ，求函数 的最小值；
（2） 设 ， 对 任 意 ， ，
恒成立，求 的最大值．
【预测题 2】已知函数 ．
（1）求 的单调区间；
（2）若不等式 对任意 恒成立，求 的取值范围．
【预测题 3】已知函数 ．
（1） 时，求在 处的切线方程；
（2）讨论 的单调性；
（3）证明：当 时， 在区间 上恒成立．
2
【预测题 4】已知函数 ．
（1）设函数 ，求 的单调区间；
（2）判断函数 与 的图象是否存在公切线，若存在，这样的切线有几
条，为什么？若不存在，请说明理由．
【预测题 5】已知函数 ， ．
（1）当 时，求函数 的值域；
（2）若函数 有两个零点 ， ，当 时，不等式
恒成立，求实数 的取值范围．
【预测题 6】已知函数 ．
（1）若 ，求函数 的单调区间；
（2）若存在实数 ，使得 对于任意的 恒成立，求实数 m
的取值范围．
3
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