专题3.12 恒成立、存在性问题（新高考）（解析版）

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专题 3.12 恒成立、存在性问题
1．恒成立、存在性问题的求解思路：
（1）转化为基本函数（曲线）问题：数形结合，利用函数图象或曲线性质求解，如一
次函数端点法，二次函数判别式、指对函数切线法、根式平方联想圆等等；
（2）分离参数法：转化为函数最值问题求解；
（3）变换主元法：参数与变量角色转化，以参数为自变量，构建函数再求解．
2．不等式恒成立问题的求解策略：
（1）分离参数 恒成立( )或 恒成立（ ）；
（2）数形结合( 图象在 上方即可)；
（3）讨论最值 或 恒成立．
3．不等式能恒成立求参数值(取值范围)的求解策略：
（1）函数法：讨论参数范围，借助函数单调性求解；
（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域或最值问题加以解决；
（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系
中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解．
4．对于已知函数 的单调性求参数问题：
（1）已知可导函数 在区间 上单调递增，转化为区间 上 恒成立；
（2）已知可导函数 在区间 上单调递减，转化为区间 上 恒成立；
（3）已知可导函数 在区间 上存在增区间，转化为 在区间 上有解；
（4）已知可导函数 在区间 上存在减区间，转化为 在区间 上有解．
1
【预测题 1】已知函数 ．
（1）设 ，求函数 的最小值；
（2） 设 ， 对 任 意 ， ，
恒成立，求 的最大值．
【答案】（1） ；（2） ．
【解析】（1） 因 为 ，
，
令 ，则 ， ．
，
当 ， ， 单调递减；当 ， ， 单调递增．
所以 ）的最小值为 ．即函数 的最小值是 ．
（2） ，
2
．
由（1）知 ，
所以 ．
所以 ， 的最大值是 ．
【名师点睛】本题关键是将函数转化为 ，利用换元法而得解．
【预测题 2】已知函数 ．
（1）求 的单调区间；
（2）若不等式 对任意 恒成立，求 的取值范围．
【答案】（1）单调递增区间为 ，单调递减区间为 ；（2） ．
【解析】（1） 的定义域 ，
，
令 ， ， ，
令 ， ，
3
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