专题3.11 函数的零点问题（新高考）（原卷版）

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专题 3.11 函数的零点问题
1．由零点求参数的值或取值范围的常用方法与策略：
（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；
（2）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系
中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解；
（3）分类参数法：一般命题情境为给出区间，求满足函数零点个数的参数范围，通常
解法为从 中分离参数，然后利用求导的方法求出由参数构造的新函数的最值，根
据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数的取值范围；
（4）分类讨论法：一般命题情境为没有固定的区间，求满足函数零点个数的参数范围 ，
通常解法为结合函数的单调性，先确定参数分类标准，在每个小范围内研究零点的个数
是否符合题意，将满足题意的参数的各个小范围并在一起，即可为所求参数的范围．
2．判断零点个数的常用方法与策略：
（1）直接法：令 ，如果能求出解，那么有几个不同的解就有几个零点；
（2）利用函数的零点存在性定理：利用函数的零点存在性定理时，不仅要求函数的图
象在区间 上是连续不断的曲线，并且 ，还必须结合函数的图象与
性质，（如单调性、奇偶性）才能确定函数有多少个零点；
（3）图象法：画出函数 的图象，函数 的图象与 轴交点的个数就是函数
的零点个数；将函数 拆成两个函数， 和 的形式，根据
，则函数 的零点个数就是函数 和
的图象交点个数；
（4）利用函数的性质：若能确定函数的单调性，则其零点个数不难得到，若所考查的
函数是周期函数，则需要求出在一个周期内的零点个数，根据周期性则可以得出函数的
零点个数．
【预测题 1】已知函数 在 上的最大值为 ．
1
（1）求 的解析式；
（2）讨论函数 在 上的零点的个数．
【预测题 2】已知函数 有两个不同的零点(其中 为自然对数的底
数)．
（1）当 时，求证： ；
（2）求实数 的取值范围；
（3）若函数 的两个零点为 ，求证： ．
【预测题 3】已知函数 ．
（1）若函数 在 上单调递增，求实数 的取值范围；
（2）讨论函数 零点的个数．
【预测题 4】已知函数 ．
（1）若 在 上单调递增，求 的取值范围；
（2）设 ，若 有三个不同的零点，求 的取值范围．
2
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