专题3.9 抛物线的综合问题（新高考）（原卷版）

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专题 3.9 抛物线的综合问题

1．与抛物线有关的综合问题的求解策略：

（1）解答直线与抛物线的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去 (或)建立一

元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系；

（2）涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为或不存在等特

殊情形．有时若直线过 x轴上的一点，可将直线设成横截式．

2．存在型定值问题的求解，解答的一般思路如下：

（1）确定一个(或两个)变量为核心变量，其余量均利用条件用核心变量进行表示；

（2）将所求表达式用核心变量进行表示(有的甚至就是核心变量)，然后进行化简，看能

否得到一个常数．

3．对于轨迹方程、定值问题的求解方法：

（1）求轨迹方程，一般是求谁设谁的坐标然后根据题目等式直接求解即可，

（2）存在性与定值问题一般设存在，代入，结合根与系数关系等知识消去参数求解，

属于较难题型．

4．证明直线过定点，通常有两类：

（1）直线方程整理为斜截式 y=kx+b，过定点(0，b)；

（2）直线方程整理为点斜式 y - yo=k(x- x0)，过定点(x0，y0) ．

【预测题 1】已知焦点为的抛物线经过圆

的圆心，点是抛物线与圆在第一象限的一个公共点，

且．

（1）分别求与的值；

（2）点与点关于原点对称，点，是异于点的抛物线上的两点，且，

，三点共线，直线，分别与轴交于点，，问：是否为定值？

若为定值，求出该定值；若不为定值，试说明理由．

【预测题 2】已知抛物线的准线为，过抛物线上一点向轴作垂

线，垂足恰好为抛物线的焦点，且．

（1）求抛物线的方程；

（2）设与轴的交点为，过轴上的一个定点的直线与抛物线交于

两点．记直线的斜率分别为，若，求直线的方程．

【预测题 3】已知为抛物线上的一点，，为抛物线上异于点

的两点，且直线的斜率与直线的斜率互为相反数．

（1）求直线的斜率；

（2）设直线过点并交抛物线于，两点，且，直线

与轴交于点，试探究与的夹角是否为定值，若是则求出定

值，若不是，说明理由．

【预测题 4】已知点为抛物线的焦点，点、在抛物线上，且

、、三点共线．若圆的直径为．

（1）求抛物线的标准方程；

（2）过点的直线与抛物线交于点，，分别过、两点作抛物线的切线，

，证明直线，的交点在定直线上，并求出该直线．

【预测题 5】如图，已知抛物线的焦点是，准线是．

（1）写出焦点的坐标和准线的方程；

（2）已知点，若过点的直线交抛物线于不同的两点、（均与不重

合），直线、分别交于点、，求证：．

【预测题 6】设点为抛物线的焦点，三点在抛物线上，且四边

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