专题3.9 函数的实际应用（精讲）（原卷版）-2022年新高考数学一轮复习学与练

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专题 3.9 函数的实际应用

【考纲要求】

1. 能将一些简单的实际问题转化为相应的函数问题，并给予解决.

2．培养学生的数学抽象、数学运算、数学建模、逻辑推理、直观想象等核心数学素养.

【知识清单】

1．常见的几种函数模型

(1)一次函数模型：y＝kx ＋ b ( k ≠0) .

(2)反比例函数模型：y＝(k≠0).

(3)二次函数模型：y＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0).

(4)指数函数模型：y＝a·bx＋c(b>0，b≠1，a≠0).

(5)对数函数模型：y＝mlogax＋n(a>0，a≠1，m≠0).

2. 指数、对数及幂函数三种增长型函数模型的图象与性质

函数

性质

y＝ax

(a>1)

y＝logax

(a>1)

y＝xn

(n>0)

在(0，＋∞)

上的增减性

单调递增单调递增单调递增

增长速度越来越快越来越慢相对平稳

图象的变化

随x的增大逐渐表现为与 y

轴平

行

随x的增大逐渐表现为与

轴平行

随n值变化

而各有不同

值的比较存在一个 x0，当 x>x0时，有 logax<xn<ax

【重点总结】

解答函数应用题的一般步骤：

①审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择数学模型；

②建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识，建立相应的数学模型；

③求模：求解数学模型，得出数学结论；

④还原：将数学问题还原为实际问题的意义．

【考点梳理】

考点一：一次函数与分段函数模型

【典例 1】（2020·四川省乐山沫若中学高一月考）2019 年1月1日起我国实施了个人所得税的新政策，其

政策的主要内容包括：（1）个税起征点为 5000 元；（2）每月应纳税所得额（含税）=收入-个税起征点-

专项附加扣除；（3）专项附加扣除包括：①赡养老人费用，②子女教育费用，③继续教育费用，④大病

医疗费用等，其中前两项的扣除标准为：①赡养老人费用：每月扣除 2000 元，②子女教育费用：每个子女

每月扣除 1000 元，新的个税政策的税率表部分内容如下：

级数一级二级三级

每月应纳税所得额元（含税）

税率 3 10 20

现有李某月收入为 18000 元，膝下有一名子女在读高三，需赡养老人，除此之外无其它专项附加扣除，则

他该月应交纳的个税金额为（）

A．1800 B．1000 C．790 D．560

【典例 2】（2018 届广东省深圳中学高三第一次测试）中国移动通信公司早前推出“全球通”移动电话资

费“个性化套餐”,具体方案如下：

方案代号基本月租（元）免费时间（分钟）超过免费时间的话费（元/分钟）

1 30 48 0．60

2 98 170 0．60

3 168 330 0．50

4 268 600 0．45

5 388 1000 0．40

6 568 1700 0．35

7 788 2588 0．30

（I）写出“套餐”中方案的月话费（元）与月通话量（分钟）（月通话量是指一个月内每次通话用

时之和）的函数关系式；

（II）学生甲选用方案，学生乙选用方案，某月甲乙两人的电话资费相同,通话量也相同，求该月学生

甲的电话资费；

（III）某用户的月通话量平均为320 分钟，则在表中所列出的七种方案中，选择哪种方案更合算，说明理

由.

3000x

3000 12000x  12000 25000x 

【规律方法】

1.确定一次函数模型时，一般是借助两个点来确定，常用待定系数法．

2.分段函数模型的求解策略

(1)实际问题中有些变量间的关系不能用同一个关系式给出，而是由几个不同的关系式构成，如出租车票价

与路程之间的关系，应构建分段函数模型求解．

(2)构造分段函数时，要力求准确、简捷，做到分段合理、不重不漏．

(3)分段函数的最值是各段最大值(或最小值)中的最大者(或最小者)．

【变式探究】

1.（2020·广东省高三其他（理））某贫困县为了实施精准扶贫计划，使困难群众脱贫致富，对贫困户实行

购买饲料优惠政策如下：

（1）若购买饲料不超过 2000 元，则不给予优惠；

（2）若购买饲料超过 2000 元但不超过 5000 元，则按标价给予 9折优惠；

（3）若购买饲料超过 5000 元，其 5000 元内的给予 9折优惠，超过 5000 元的部分给予 7折优惠.

某贫穷户购买一批饲料，有如下两种方案：

方案一：分两次付款购买，分别为2880 元和 4850 元；

方案二：一次性付款购买.

若取用方案二购买此批饲料，则比方案一节省（）元

A．540 B．620 C．640 D．800

2. （2020·六盘水市第七中学高一期末）随着经济的发展，个人收入的提高，自 2018 年10 月1日起，个人

所得税起征点和税率的调整.调整如下：纳税人的工资、薪金所得，以每月全部收入额减除 5000 元后的余

额为应纳税所得额.依照个人所得税税率表，调整前后的计算方法如表：

个人所得税税率表(调整前)个人所得税税率表(调整后)

免征额 3500 元免征额 5000 元

级数全月应纳税所得额

税率

(%)

级数全月应纳税所得额税率(%)

1不超过 1500 元的部分 3 1

不超过 3000 元的部

分

2超过 1500 元至4500 元的部 10 2 超过 3000 元至12000 10

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