专题3.8 双曲线的综合问题（新高考）（原卷版）

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专题 3.8 双曲线的综合问题
与双曲线有关的解答题的求解策略：
（1）熟知双曲线的渐近线、双曲线的方程及双曲线的性质是求解此类问题的关键；
（2）对于双曲线中的定值、定点问题，属于难题，一般解法是设直线、联立方程组、根与
系数关系、结合已知条件化简即可得出答案．
【预测题 1】已知双曲线 （a＞0，b＞0）的右焦点为 F（3，0），左、右顶点
分别为 M，N，点 P是E在第一象限上的任意一点，且满足 kPM•kPN＝8．
（1）求双曲线 E的方程；
（2）若直线 PN 与双曲线 E的渐近线在第四象限的交点为 A，且△PAF 的面积不小于 3
，求直线 PN 的斜率 k的取值范围．
【预测题 2】郑州中原福塔的外立面呈双曲抛物面状，造型优美，空中俯瞰犹如盛开的梅
花绽放在中原大地，是现代建筑与艺术的完美结合．双曲抛物面又称马鞍面，其在笛卡儿
坐标系中的方程与在平面直角坐标系中的双曲线方程类似．双曲线在物理学中具有很多应
用，比如波的干涉图样为双曲线､反射式天文望远镜利用了其光学性质等等．
（1）已知 ， 是在直线 两侧且到直线 距离不相等的两点， 为直线 上一点．试探
究当点 的位置满足什么条件时， 取最大值；
（2）若光线在平滑曲线上发生反射时，入射光线与反射光线关于曲线在入射点处的切线在
1
该点处的垂线对称．证明：由双曲线一个焦点射出的光线，在双曲线上发生反射后，反射
光线的反向延长线交于双曲线的另一个焦点．
【预测题 3】已知双曲线的中心在原点， 、 为左、右焦点，焦距是实轴长的 倍，
双曲线过点 ．
（1）求双曲线的标准方程；
（2）若点 在双曲线上，求证：点 在以 为直径的圆上；
（3）在（2）的条件下，若直线 交双曲线于另一点 ，求 的面积．
【预测题 4】已知坐标原点为 ，双曲线 的焦点到其渐近线
2
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