专题3.8 双曲线的综合问题（新高考）（解析版）

3.0 envi 2025-02-12 18 4 1.01MB 20 页 3知币
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专题 3.8 双曲线的综合问题
与双曲线有关的解答题的求解策略：
（1）熟知双曲线的渐近线、双曲线的方程及双曲线的性质是求解此类问题的关键；
（2）对于双曲线中的定值、定点问题，属于难题，一般解法是设直线、联立方程组、根与
系数关系、结合已知条件化简即可得出答案．
【预测题 1】已知双曲线 （a＞0，b＞0）的右焦点为 F（3，0），左、右顶点
分别为 M，N，点 P是E在第一象限上的任意一点，且满足 kPM•kPN＝8．
（1）求双曲线 E的方程；
（2）若直线 PN 与双曲线 E的渐近线在第四象限的交点为 A，且△PAF 的面积不小于 3
，求直线 PN 的斜率 k的取值范围．
【答案】（1）x21．（2）0＜k．
【解析】（1）设 P（x0，y0），则 kPM ，kPN ，
所以 kPM•kPN 8，即 8x028﹣a2，
又P（x0，y0）是双曲线上的点，所以 1，即 y02x02﹣b2，
所以 8，又双曲线的右焦点为（3，0），所以 a2+b2＝9．
1
所以 a2＝1，b2＝8，所以双曲线的方程为 x21．
（2）由（1）可知 N（1，0），双曲线的过第四象限的渐近线方程为 y＝﹣2x，
设直线 PN 的方程为 x＝my+1，则直线 PN 的斜率为 k，显然 m＞0．
联立方程组 ，可得 yA，
联立方程组 ，可得 yP，
所以 S△PAF （yP﹣yA） ，
令3，解得 m，
所以 0，即 0＜k．
【名师点睛】本题考查了双曲线的性质，直线与圆锥曲线的位置关系，属于中档题．
【预测题 2】郑州中原福塔的外立面呈双曲抛物面状，造型优美，空中俯瞰犹如盛开的梅
花绽放在中原大地，是现代建筑与艺术的完美结合．双曲抛物面又称马鞍面，其在笛卡儿
2
坐标系中的方程与在平面直角坐标系中的双曲线方程类似．双曲线在物理学中具有很多应
用，比如波的干涉图样为双曲线､反射式天文望远镜利用了其光学性质等等．
（1）已知 ， 是在直线 两侧且到直线 距离不相等的两点， 为直线 上一点．试探
究当点 的位置满足什么条件时， 取最大值；
（2）若光线在平滑曲线上发生反射时，入射光线与反射光线关于曲线在入射点处的切线在
该点处的垂线对称．证明：由双曲线一个焦点射出的光线，在双曲线上发生反射后，反射
光线的反向延长线交于双曲线的另一个焦点．
【答案】（1）当 的位置使得 为 的平分线时， 取最大值；（2）证明
见解析．
【解析】（1）不妨设 点到直线 的距离比 点到直线 的距离大，
作点 关于直线 的对称点 ．当 ， ， 三点共线，即 为 的平分线时，
有 ，
当 ， ， 三点不共线，即 不是 的平分线时，取这样的点 ，
则 ， ， 能构成一个三角形，
故(两边之差小于第三边)，
因此，当且仅当 的位置使得 为 的平分线时， 取最大值．
3
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