专题3.8 函数与方程（精讲）（解析版）-2022年新高考数学一轮复习学与练

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专题 3.8 函数与方程
【考纲要求】
1.理解函数零点的概念.
2.培养学生数学抽象、逻辑推理、数学运算、直观想象、数据分析等数学核心素养.
【知识清单】
1．函数的零点
(1)函数零点的概念
对于函数 y＝f(x)，把使 f ( x ) ＝ 0
的实数 x叫做函数 y＝f(x)的零点.
(2)函数零点与方程根的关系
方程 f(x)＝0有实数根⇔函数 y＝f(x)的图象与 x
轴 有交点⇔函数 y＝f(x)有零点.
2．零点存在性定理
如果函数 y＝f(x)满足：①在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线；② f(a)·f(b)<0；则函数 y＝f(x)在(a，
b)上存在零点，即存在 c∈(a，b)，使得 f(c)＝0，这个 c也就是方程 f(x)＝0的根.
特别提醒两个易错点：
(1)函数的零点不是点,是方程 f(x)=0 的实根.
(2)函数零点的存在性定理只能判断函数在某个区间上的变号零点,而不能判断函数的不变号零点,而且连续
函数在一个区间的端点处函数值异号是这个函数在这个区间上存在零点的充分不必要条件.
3．二分法的概念
对于在区间[a，b]上连续不断且 f(a)·f(b)＜0的函数 y＝f(x)，通过不断地把函数 f(x)的零点所在的区间一分为
二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．
4．用二分法求函数 f(x)的零点近似值的步骤
(1)确定区间[a，b]，验证 f ( a )· f ( b ) ＜ 0 ，给定精确度 ε；
(2)求区间(a，b)的中点 c；
(3)计算 f(c)：
若f(c)＝0，则 c就是函数的零点；
若f(a)·f(c)＜0，则令 b＝c[此时零点 x0∈(a，c)]；
若f(c)·f(b)＜，则令 a＝c[此时零点 x0∈(c，b)]．
(4)判断是否达到精确度 ε：
即若|a－b|＜ε，则得到零点的近似值为 a(或b)；否则重复(2)～(4)．
1
3．二分法的应用
由函数的零点与相应方程根的关系，可以用二分法来求方程的近似解.
【考点梳理】
考点一：求函数的零点
【典例 1】（2020·上海高三三模）函数 ，如果方程 有四个不同的实数解
、 、 、 ，则 　 　．
【答案】4
【解析】
作出函数 的图象，
方程 有四个不同的实数解，
等价为 和 的图象有 4个交点，
不妨设它们交点的横坐标为 、 、 、 ，
且 ，
由 、 关于原点对称， 、 关于 对称，
可得 ， ，
则 ．
故答案为：4．
2
, 1
( ) ( 2) , 1
x x
f x x x
 
„
( )f x b
1
x
2
x
3
x
4
x
1 2 3 4
x x x x  
2
, 1
( ) ( 2) , 1
x x
f x x x
 
„
( )f x b
( )y f x
y b
1
x
2
x
3
x
4
x
1 2 3 4
x x x x< < <
1
x
2
x
3
x
4
x
(2, 0)
1 2
0x x 
3 4
4x x 
1 2 3 4 4x x x x  
2
【典例 2】（2019·四川高考模拟（理））已知函数
f
(
x
)
是定义在
R
上的奇函数，且当
x ≥ 0
时，
f
(
x
)
=x
(
x − 4
)
，则方程
f
(
x
)
=f
(
2− x
)
的所有解的和为（　　）
A．
B．1 C．3 D．5
【答案】C
【解析】
∵
f（x）
是定义在 R上的奇函数，且当
x ≥ 0
时，
f（x）=x（x − 4）
∴当
x＜0
时，
− x ＞0
则
f（− x ）=− x （− x − 4）=− f （x）
即
f（x）=− x （x+4） ， x＜0
则
f(x)=¿
作出
f（x）
的图象如图：
∵
y=f（2− x ）
的图象与
y=f（x）
的图象关于
x=1
对称
∴作出
y=f（2− x ）
的图象，由图象知
y=f（2− x ）
与
y=f（x）
的图象有三个交点
即
f（x）=f（2− x ）
有三个根，其中一个根为 1，另外两个根 a，b关于
x=1
对称
即
a+b=2
则所有解的和为
a+b+1=2+1=3
3
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