专题3.8 定积分与微积分基本定理（原卷版）

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2021 年高考理科数学一轮复习：题型全归纳与高效训练突破

专题 3.8 定积分与微积分基本定理

一、题型全归纳.............................................................................................................................................................1

题型一　定积分的计算.......................................................................................................................................1

类型一　利用微积分基本定理求定积分....................................................................................................2

类型二　利用定积分的几何意义求定积分................................................................................................2

题型二　利用定积分求平面图形的面积..........................................................................................................3

题型三定积分在物理中的应用..........................................................................................................................4

二、高效训练突破.........................................................................................................................................................5

一、题型全归纳

题型一　定积分的计算

【题型要点】1.计算定积分的解题步骤

(1)把被积函数变形为幂函数、正弦函数、余弦函数、指数函数与常数的积的和或差．

(2)把定积分变形为求被积函数为上述函数的定积分．

(3)分别用求导公式的逆运算找到一个相应的原函数．

(4)利用微积分基本定理求出各个定积分的值，然后求其代数和．　

【易错提醒】　当被积函数的原函数不易求，而被积函数的图象与直线 x＝a，x＝b，y＝0所围成的曲边梯

形的面积易求时，可利用定积分的几何意义求定积分．

2.运用微积分基本定理求定积分时的 4个关键点

(1)对被积函数要先化简，再求积分．

(2)求被积函数为分段函数的定积分，依据定积分“对区间的可加性”，分段积分再求和．

(3)对于含有绝对值符号的被积函数，要先去掉绝对值符号，再求积分．

(4)注意用“F′(x)＝f(x)”检验积分的对错．

类型一　利用微积分基本定理求定积分

【例 1】计算下列定积分：

(1)

∫1

xdx

；(2)

∫0

πcos x dx

；(3)

∫1

(

2x−1

)

类型二　利用定积分的几何意义求定积分

【例 2】计算下列定积分：

(1)

∫0

√

1−

(

x−1

)

2dx

；

(2)

∫−5

(

3x3+4 sin x

)

题型二　利用定积分求平面图形的面积

【题型要点】1.利用定积分求曲边图形面积时，一定要找准积分上限、下限及被积函数．当图形的边界不

同时，要分不同情况讨论

2.设阴影部分的面积为 S，则对如图所示的四种情况分别有：

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