专题3.8 定积分与微积分基本定理（解析版）

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2021 年高考理科数学一轮复习：题型全归纳与高效训练突破
专题 3.8 定积分与微积分基本定理
目录
一、题型全归纳.............................................................................................................................................................1
题型一 　定积分的计算.......................................................................................................................................1
类型一　利用微积分基本定理求定积分....................................................................................................2
类型二　利用定积分的几何意义求定积分................................................................................................2
题型二 　利用定积分求平面图形的面积..........................................................................................................3
题型三 定积分在物理中的应用..........................................................................................................................4
二、高效训练突破.........................................................................................................................................................5
一、题型全归纳
题型一 　定积分的计算
【题型要点】1.计算定积分的解题步骤
(1)把被积函数变形为幂函数、正弦函数、余弦函数、指数函数与常数的积的和或差．
(2)把定积分变形为求被积函数为上述函数的定积分．
(3)分别用求导公式的逆运算找到一个相应的原函数．
(4)利用微积分基本定理求出各个定积分的值，然后求其代数和．　
【易错提醒】　当被积函数的原函数不易求，而被积函数的图象与直线 x＝a，x＝b，y＝0所围成的曲边梯
形的面积易求时，可利用定积分的几何意义求定积分．
2.运用微积分基本定理求定积分时的 4个关键点
(1)对被积函数要先化简，再求积分．
(2)求被积函数为分段函数的定积分，依据定积分“对区间的可加性”，分段积分再求和．
1
(3)对于含有绝对值符号的被积函数，要先去掉绝对值符号，再求积分．
(4)注意用“F′(x)＝f(x)”检验积分的对错．
类型一　利用微积分基本定理求定积分
【例 1】计算下列定积分：
(1)
∫1
22
xdx
；(2)
∫0
πcos x dx
；(3)
∫1
3
(
2x−1
x2
)
dx
.
【解】　(1)因为(ln x)′＝，所以
∫1
22
xdx=2∫1
21
xdx=2 ln x|1
2=2
(
ln 2−ln 1
)
=2 ln 2
(2)因为(sin x)′＝cos x，所以
∫0
πcos x dx=sin x|0
π=sin π−sin 0=0
.
(3)因为(x2)′＝2x，
(
1
x
)
′
＝－，所以
.
类型二　利用定积分的几何意义求定积分
【例 2】计算下列定积分：
(1)
∫0
1
√
1−
(
x−1
)
2dx
；
(2)
∫−5
5
(
3x3+4 sin x
)
dx
.
【解】　(1)
根据定积分的几何意义，可知
∫0
1
√
1−
(
x−1
)
2dx
表示的是圆(x－1)2＋y2＝1的面积的(如图中阴影部分)．
故
∫0
1
√
1−
(
x−1
)
2dx
＝.
(2)设y＝f(x)＝3x3＋4sin x，
则f(－x)＝3(－x)3＋4sin(－x)＝－(3x3＋4sin x)＝－f(x)，　
所以 f(x)＝3x3＋4sin x在[－5，5]上是奇函数．
所以
∫−5
0
(
3x3+4 sin x
)
dx=−∫0
5
(
3x3+4 sin x
)
dx
.
2
所以
∫−5
5
(
3x3+4 sin x
)
dx=∫−5
0
(
3x3+4 sin x
)
dx+∫0
5
(
3x3+4 sin x
)
dx=0
.
题型二 　利用定积分求平面图形的面积
【题型要点】1.利用定积分求曲边图形面积时，一定要找准积分上限、下限及被积函数．当图形的边界不
同时，要分不同情况讨论
2.设阴影部分的面积为 S，则对如图所示的四种情况分别有：
　
(1)
S=∫a
bf
(
x
)
dx
.
(2)
S=−∫a
bf
(
x
)
dx
.
(3)
S=∫a
cf
(
x
)
dx−∫c
bf
(
x
)
dx
(4)
S=∫a
bf
(
x
)
dx−∫a
bg
(
x
)
dx=∫a
b
[
f
(
x
)
−g
(
x
)
]
dx
.
【例 1】由抛物线 y2＝2x与直线 y＝x－4围成的平面图形的面积为__________．
【答案】18
【解析】　如图所示
解方程组得两交点的坐标分别为(2，－2)，(8，4)．
法一：选取横坐标 x为积分变量，则图中阴影部分的面积 S可看作两部分面积之和，
即
S=2∫0
2
√
2x dx+∫2
8
(
√
2x−x+4
)
dx=18
.
法二：选取纵坐标 y为积分变量，则图中阴影部分的面积
S=∫−2
4
(
y+4−1
2y2
)
dy=18
.
【例 2】曲线 y＝－x＋2，y＝与 x轴所围成的面积为________．
【答案】　
【解析】如图所示
3
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